Предположим, что для подпространства W в RR ^ 4 существует базис и определенное число размерностей. Почему количество измерений 2?

Ответ:

4 измерения минус 2 ограничения = 2 измерения

Объяснение:

3-я и 4-я координаты являются единственными независимыми. Первые два можно выразить в терминах последних двух.

Ответ:

Размерность подпространства определяется его базисами, а не размерностью любого векторного пространства, в котором оно является подпространством.

Объяснение:

Размерность векторного пространства определяется количеством векторов в базисе этого пространства (для бесконечномерных пространств оно определяется мощностью базиса). Обратите внимание, что это определение непротиворечиво, поскольку мы можем доказать, что любой базис векторного пространства будет иметь такое же количество векторов, что и любой другой базис.

В случае # RR ^ п # мы знаем это #dim (RR ^ n) = n # как

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

является основой для # RR ^ п # и имеет # П # элементы.

В случае #W = s, t в RR # мы можем написать любой элемент в # W # как #svec (u) + tvec (v) # где #vec (u) = (4,1,0,1) # а также #vec (v) = (-1,0,1,0) #.

Из этого мы имеем, что # {vec (u), vec (v)} # это связующий набор для # W #, Так как #vec (и) # а также #vec (v) # явно не скалярные кратные друг другу (обратите внимание на положение #0#s), это означает, что # {vec (u), vec (v)} # является линейно независимым охватывающим набором для # W #основа. Так как # W # основывается на #2# элементы, мы говорим, что #dim (W) = 2 #.

Обратите внимание, что размерность векторного пространства не зависит от того, могут ли его векторы существовать в других векторных пространствах большего размера. Единственное отношение состоит в том, что если # W # это подпространство # V # затем #dim (W) <= dim (V) # а также #dim (W) = dim (V) <=> W = V #