В чем смысл фразы обратимой матрицы?

Короткий ответ заключается в том, что в системе линейных уравнений, если матрица коэффициентов обратима, то ваше решение уникально, то есть у вас есть одно решение.

Здесь есть много свойств для обратимой матрицы, поэтому вы должны взглянуть на теорему об обратимой матрице. Чтобы матрица была обратимой, она должна быть площадь то есть он имеет то же количество строк, что и столбцы.

В общем, более важно знать, что матрица является обратимой, а не фактически создавать обратимую матрицу, потому что вычисление обратимой матрицы требует больших вычислительных затрат по сравнению с простым решением системы. Вы бы вычислили обратную матрицу, если бы вы решали много решений.

Предположим, у вас есть эта система линейных уравнений:

# 2х + 1.25y = b_1 #

# 2.5x + 1.5y = b_2 #

и вам нужно решить # (x, y) # для пар постоянных: #(119.75, 148), (76.5, 94.5), (152.75, 188.5)#, Похоже, много работы! В матричной форме эта система выглядит следующим образом:

# Ах = Ь #

где # A # матрица коэффициентов, #Икс# это вектор # (Х, у) # а также # Б # это вектор # (b_1, b_2) #, Мы можем решить для #Икс# с некоторой матричной алгеброй:

# Х = А ^ (- 1) б #

где #A ^ (- 1) # является обратной матрицей. Существуют разные способы вычисления обратной матрицы, поэтому сейчас я не буду вдаваться в подробности.

#A ^ (- 1) = #

#-12, 10#

#20, -16#

Итак, чтобы получить решения, мы имеем:

# -12 * 119,75 + 10 * 148 = 43 = x_1 #

# 20 * 119.75-16 * 148 = 27 = y_1 #

# -12 * 76,5 + 10 * 94,5 = 27 = x_2 #

# 20 * 76.5-16 * 94,5 = 18 = y_2 #

# -12 * 152,75 + 10 * 188.5 = 52 = x_3 #

# 20 * 152.75-16 * 188,5 = 39 = y_3 #

Разве это не проще, чем решить 3 системы?