Как вы можете доказать распределение Пуассона?

Ответ:

# "Смотри объяснение" #

Объяснение:

# "Мы берем период времени с длиной" t ", состоящий из n частей" #

#Delta t = t / n ". Предположим, что шанс на успешное событие" #

# "в одной части это" p ", то общее количество событий в п" #

# "часы распределяются биномиально в соответствии с" #

#p_x (x) = C (n, x) p ^ x (1-p) ^ (n-x), x = 0,1, …, n #

# "с" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! * (k!)) "(комбинации)" #

# "Теперь мы позволим" #

# n-> oo ", поэтому" p-> 0 ", но" n * p = lambda #

# "Таким образом, мы подставляем" p = lambda / n "в" p_x ":" #

#p_x (x) = (n!) / ((x!) (n-x)!) (лямбда / n) ^ x (1-лямбда / n) ^ (n-x) #

# = лямбда ^ x / (x!) (1-лямбда / n) ^ n (n!) / ((n-x)!) * 1 / (n ^ x (1-лямбда / n) ^ x) #

# = лямбда ^ x / (x!) (1-лямбда / n) ^ n (n (n-1) (n-2) … (n-x + 1)) / (n (1-лямбда) / п)) ^ х #

# "для" n -> oo ", что находится между …" -> 1 "и" #

# (1 - лямбда / n) ^ n -> e ^ -lambda "(предел Эйлера)," #

# "так мы получим" #

#p_x (x) = (лямбда ^ x e ^ -lambda) / (x!), x = 0,1,2, …, oo #