Как вы находите предел (ln x) ^ (1 / x) при приближении x к бесконечности?

Ответ:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 #

Объяснение:

Мы начинаем с довольно распространенного трюка при работе с переменными показателями. Мы можем взять натуральный логарифм чего-либо, а затем повысить его как показатель экспоненты, не меняя его значения, так как это обратные операции - но это позволяет нам выгодно использовать правила журналов.

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ (1 / x))) #

Используя правило экспоненты журналов:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) #

Обратите внимание, что это показатель степени, который изменяется как # Xrarroo # поэтому мы можем сосредоточиться на этом и переместить экспоненциальную функцию наружу:

# = Ехр (lim_ (xrarroo) (LN (LN (х)) / х)) #

Если вы посмотрите на поведение функции натурального логарифма, то заметите, что когда x стремится к бесконечности, значение функции также стремится к бесконечности, хотя и очень медленно. Когда мы берем #ln (п (х)) # внутри функции log есть переменная, которая стремится к бесконечности очень медленно, а это означает, что у нас есть общая функция, которая стремится к бесконечности ЧРЕЗВЫЧАЙНО медленно. График ниже только колеблется до # Х = 1000 # но это демонстрирует чрезвычайно медленный рост #ln (п (х)) # даже по сравнению с медленным ростом #ln (х) #.

Из этого поведения мы можем сделать вывод, что #Икс# будет демонстрировать гораздо более быстрый асимптотический рост, и поэтому предел показателя будет равен нулю. #color (blue) ("Это означает, что общий лимит = 1.") #

Мы также можем решить эту проблему с помощью правила L'hopital. Нам нужно, чтобы предел был в неопределенной форме, т.е. # 0/0 или oo / oo # поэтому мы проверяем, что это так:

#lim_ (xrarroo) ln (ln (x)) = ln (ln (oo)) = ln (oo) = oo #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

Это действительно так, предел становится:

# = Ехр (lim_ (xrarroo) ((г / (ах) (LN (LN (х)))) / (г / (ах) х))) #

Различать #y = ln (ln (x)) # признать, у нас есть #Y (и (х)) # и использовать правило цепи

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

#u = ln (x) означает (du) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u) означает (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)) #

# поэтому (dy) / (dx) = 1 / (ln (x)) * 1 / x = 1 / (xln (x)) #

Производная от #Икс# является #1#, Предел становится:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((1 / (xln (x))) / 1)) = exp (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x)))) #

Мы обратились к тому, что обе функции на знаменателе стремятся к бесконечности, поэтому мы имеем

#exp (1 / oo) = exp (0) = 1 #