Как вы докажете arcsin x + arccos x = pi / 2?

Ответ:

как показано

Объяснение:

Позволять

# Arcsinx = тета #

затем

# Х = sintheta = совы (пи / 2-тета) #

# => Arccosx = пи / 2-тета = р / 2-arcsinx #

# => Arccosx = пи / 2-arcsinx #

# => Arcsinx + arccosx = р / 2 #

Ответ:

Это утверждение верно, когда обратные триггерные функции ссылаются на главные значения, но это требует более пристального внимания, чтобы показать, чем дает другой ответ.

Когда функции обратного триггера считаются многозначными, мы получаем более детальный результат, например

#x = sin ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} quad # но #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. #

Мы должны вычесть, чтобы получить # Р / 2 #.

Объяснение:

Этот хитрее, чем кажется. Другой ответ не дает должного уважения.

Общее соглашение состоит в том, чтобы использовать маленькую букву #arccos (х) # а также #arcsin (х) # как многозначные выражения, каждое из которых соответственно указывает все значения, косинус или синус которых имеет данное значение #Икс#.

Значение суммы тех - действительно каждая возможная комбинация, и они не всегда дают # Пи / 2. # Они даже не всегда дают один из углов коэтерминала # pi / 2 + 2pi k quad # целое число # К #, как мы сейчас покажем.

Давайте сначала посмотрим, как это работает с многозначными обратными триггерными функциями. Помните в общем # cos x = cos a # есть решения # x = pm a + 2pi k quad # целое число # К #.

# c = arccos x # действительно означает

#x = cos c #

#s = arcsin x # действительно означает

#x = sin s #

#y = s + c #

#Икс# играет роль реального параметра, который выметает из #-1# в #1#, Мы хотим решить для # У #найти все возможные значения # У # которые имеют #x, s # а также # C # что делает эти уравнения одновременно #x = cos c, x = sin s, y = s + c # правда.

#sin s = x = cos c #

#cos (pi / 2 - s) = cos c #

Мы используем наше общее решение о равенстве косинусов.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad # целое число # К #

# s pm c = pi / 2 - 2pi k #

Таким образом, мы получаем гораздо более туманный результат, #arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(Разрешено ставить знак на # К. #)

Давайте теперь сосредоточимся на основных значениях, которые я пишу прописными буквами:

Шоу #text {Arc} text {sin} (x) + text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 #

Это утверждение действительно верно для главных значений, определенных обычным способом.

Сумма определяется только (пока мы не углубимся в комплексные числа) для # -1 le x le 1 # потому что действительные синусы и косинусы находятся в этом диапазоне.

Мы посмотрим на каждую сторону эквивалента

# text {Arc} text {cos} (x) stackrel {?} {=} pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) #

Мы возьмем косинус обеих сторон.

#cos (text {Arc} text {cos} (x)) = x #

#cos (pi / 2 - текст {Arc} текст {sin} (x)) = sin (текст {Arc} текст {sin} (x)) = x #

Так что, не беспокоясь о знаках или основных ценностях, мы уверены, #cos (text {Arc} text {cos} (x)) = cos (pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x)) #

Сложная часть, которая заслуживает уважения, является следующим шагом:

#text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - текст {Arc} text {sin} (x) quad # ПОКА НЕ УВЕРЕН

Мы должны действовать осторожно. Давайте возьмем положительное и отрицательное #Икс# по отдельности.

Первый # 0 le x le 1 #, Это означает, что главные значения обеих обратных функций триггера находятся в первом квадранте, между #0# а также # Пи / 2. # Ограниченный первым квадрантом, равные косинусы подразумевают равные углы, поэтому мы заключаем для #x ge 0, #

#text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - текст {Arc} text {sin} (x) quad #

Сейчас # -1 le x <0. # Основное значение обратного знака находится в четвертом квадранте, а для #x <0 # мы обычно определяем главное значение в диапазоне

# - pi / 2 le text {Arc} text {sin} (x) <0 #

# pi / 2 ge - text {Arc} text {sin} (x)> 0 #

#pi ge pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x)> pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) le pi #

Основным значением для отрицательного обратного косинуса является второй квадрант, # pi / 2 <text {Arc} text {cos} (x) le pi #

Итак, у нас есть два угла во втором квадранте, косинусы которых равны, и мы можем заключить, что углы равны. За #x <0 #, #text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - текст {Arc} text {sin} (x) quad #

Так или иначе, # text {Arc} text {sin} (x) + text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 quad sqrt #