Каков предел, когда t приближается к 0 of (tan6t) / (sin2t)?

#lim_ (t-> 0) tan (6t) / sin (2t) = 3 #. Мы определяем это, используя правило L'Hospital.

Перефразируя, правило L'Hospital гласит, что когда дан предел формы #lim_ (т а) е (т) / г (т) #, где #f (а) # а также #G (а) # являются значениями, которые приводят к тому, что предел является неопределенным (чаще всего, если оба равны 0 или имеют некоторую форму), тогда, пока обе функции являются непрерывными и дифференцируемыми в и вблизи # А, # можно утверждать, что

#lim_ (т а) е (т) / г (т) = lim_ (т а) (е '(т)) / (г' (т)) #

Или, на словах, предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных.

В приведенном примере мы имеем #f (t) = tan (6t) # а также #G (т) = sin (2t) #, Эти функции непрерывны и дифференцируемы вблизи # t = 0, tan (0) = 0 и sin (0) = 0 #, Таким образом, наш начальный #f (а) / г (а) = 0/0 =?. #

Поэтому мы должны использовать правило L'Hospital. # d / dt tan (6t) = 6 с ^ 2 (6t), d / dt sin (2t) = 2 cos (2t) #, Таким образом, …

#lim_ (t-> 0) tan (6t) / sin (2t) = lim_ (t-> 0) (6 секунд ^ 2 (6t)) / (2 cos (2t)) = (6 секунд ^ 2 (0)) / (2 cos (0)) = 6 / (2 * cos ^ 2 (0) * cos (0)) = 6 / (2 * 1 * 1) = 6/2 = 3 #

Ответ:

Треб. Lim.#=3#.

Объяснение:

Мы найдем это предел используя следующее Стандартные результаты:

#lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1, lim_ (thetararr0) tantheta / theta = 1 #

Заметьте, #tan (6t) / sin (2t) = гидроразрыва (тангенс (6t) / (6t)) (син (2t) / (2t)) ##frac (6t) (2t) = 3frac (тангенс (6t) / (6t)) (син (2t) / (2t)) #

Вот, # trarr0rArr (6t) rarr0rArr lim_ (trarr0) tan (6t) / (6t) = 1 #

Так же, #lim_ (trarr0) Sin (2t) / (2t) = 1 #

Следовательно, Треб. Lim.#=3{1/1}=3#.