Пусть P - любая точка на конике r = 12 / (3-sin x). Пусть F¹ и F² - точки (0, 0 °) и (3, 90 °) соответственно. Показать, что PF¹ и PF² = 9?

Ответ:

#r = 12 / {3-sin theta} #

Нас просят показать # | PF_1 | + | PF_2 | = 9 #т.е. #П# сметает эллипс с фокусами # F_1 # а также # F_2. # Смотрите доказательство ниже.

Объяснение:

Давайте исправим то, что, я думаю, опечатка и скажем #P (r, theta) # удовлетворяет

#r = 12 / {3-sin theta} #

Диапазон синуса #pm 1 # поэтому мы заключаем # 4 le r le 6. #

# 3r - r sin theta = 12 #

# | PF_1 | = | P - 0 | = r #

В прямоугольных координатах, # P = (r cos theta, r sin theta) # а также # F_2 = (3 cos 90 ^ круг, 3 грех 90 ^ круг) = (0,3) #

# | PF_2 | ^ 2 = | P-F_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + (r sin theta - 3) ^ 3 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 тета + r ^ 2 грех ^ 2 тета - 6 r грех тета + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 r sin theta + 9 #

#r sin theta = 3r -12 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 (3r - 12) + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 18r + 81 = (r-9) ^ 2 #

# | PF_2 | = | г-9 | #

# | PF_2 | = 9-й квад так как мы уже знаем # 4 le r le 6. #

# | PF_1 | + | PF_2 | = r + 9 -r = 9 квадратов