Как найти расстояние от точки A (3, -5,5) до линии x = 2 + 3t, y = 1-2t, z = -1 + t?

Ответ:

# 5 / sqrt6 #

есть уравнение

# Х + 2y + Z-3 = 0 #

использовать формулу расстояния

=# ((1 * 3-5 * 2 + 5 * 1) -3) / SQRT (1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 1 ^ 2) #

=# -5 / sqrt6 #

#abs (-5 / sqrt6) #

=# 5 / sqrt6 #

#sqrt 83/2 #

определяющий

# p_0 = {2,1, -1} #

#vec v = {3, -2,1} #

# P_A = {3, -5,5} #

мы должны определить расстояние между линией

# r-> p_0 + t vec v # и точка # P_A #

Используя Питагора, мы имеем

#a = норма (p_a-p_0) #

#b = abs (<< p_A-p_0, (vec v) / norm (vec v) >>) #

#d = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) # что искомое расстояние

#a = sqrt ((3-2) ^ 2 + (- 5-1) ^ 2 + (5 + 1) ^ 2 #

# (vec v) / norm (vec v) = ({3, -2,1}) / sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2 + 1) #

#b = abs ((((3-2) cdot 3+ (5 + 1) cdot 2+ (5 + 1) cdot 1) / sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2 + 1)) #

в заключение

#d = sqrt 83/2 #

#sqrt (83/2). #

Мы находим кооперативы. стопы # M # из perp. от #A (3, -5,5) # на данной линии #L: x = 2 + 3t, y = 1-2t, z = -1 + t, t в RR. #

Мы принимаем к сведению, что с #M в L, M (2 + 3t, 1-2t, -1 + t) # для некоторых #t в RR. #

Также #A (3, -5,5) rArr vec (AM) = (2 + 3t-3,1-2t + 5, -1 + t-5) = (3t-1,6-2t, t-6) #

Вектор направления # Vecl # линии # L # является # Vecl = (3, -2,1) #

Знаю это #vec (AM) # это преступник в # Vecl #, у нас есть, #vec (AM).vecl = 0 rArr (3t-1,6-2t, t-6). (3, -2,1) = 0 #

#:. 3 (3t-1) -2 (6-2t) + (т-6) = 0 #

#:. 9т-3-12 + 4t + T-6 = 0 #

#:. 14t = 21 rArr t = 3/2 rArr vec (AM) = (9 / 2-1,6-3,3 / 2-6) = (7 / 2,3, -9 / 2) #

Отсюда расст. # AM = || VEC (АМ) || = SQRT {49/4 + 9 + 81/4) = SQRT (166/4) = SQRT (83/2), # как получено Чезарео Р. Сэр!

Наслаждайтесь математикой. Распространяй Радость!