Решить топор ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0?

Ответ:

Быстрый набросок …

Объяснение:

Дано:

# ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 "" # с #a! = 0 #

Это очень быстро запутывается, поэтому я просто дам набросок одного метода …

Умножить на # 256A ^ 3 # и заменить #t = (4ax + b) # чтобы получить подавленную моническую квартику вида:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

Обратите внимание, что, поскольку это не имеет термина в # Т ^ 3 #, оно должно учитываться в виде:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-At + B) (t ^ 2 + At + C) #

# color (white) (t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r) = t ^ 4 + (B + C-A ^ 2) t ^ 2 + A (B-C) t + BC #

Приравнивая коэффициенты и переставляя немного, имеем:

# {(B + C = A ^ 2 + p), (B-C = q / A), (BC = d):} #

Итак, мы находим:

# (A ^ 2 + p) ^ 2 = (B + C) ^ 2 #

# color (white) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = (B-C) ^ 2 + 4BC #

# color (white) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = q ^ 2 / A ^ 2 + 4d #

Умножение, умножение на # A ^ 2 # и немного переставляя, это становится:

# (A ^ 2) ^ 3 + 2p (A ^ 2) ^ 2 + (p ^ 2-4d) (A ^ 2) -q ^ 2 = 0 #

Это куб # A ^ 2 #"имеет по крайней мере один реальный корень. В идеале он имеет положительный реальный корень, который дает два возможных реальных значения для # A #, Независимо от этого, любой корень кубика подойдет.

Учитывая значение # A #, у нас есть:

#B = 1/2 ((B + C) + (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p + q / A) #

#C = 1/2 ((B + C) - (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p-q / A) #

Следовательно, мы получаем две квадратичные задачи для решения.