Зачем вам нужно найти тригонометрическую форму комплексного числа?

В зависимости от того, что вам нужно сделать с вашими комплексными числами, тригонометрическая форма может быть очень полезной или очень сложной.

Например, пусть # Z_1 = 1 + I #, # Z_2 = SQRT (3) + I # а также # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

Давайте вычислим две тригонометрические формы:

# Theta_1 = агс (1) = р / 4 # а также # Rho_1 = SQRT {1 + 1} = SQRT {2} #

# Theta_2 = агс (1 / SQRT {3}) = р / 6 # а также # Rho_2 = SQRT {3 + 1} = 2 #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # а также # Rho_3 = SQRT {1} + 3 = 2 #

Итак, тригонометрические формы:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

прибавление

Допустим, вы хотите вычислить # Z_1 + z_2 + Z_3 #, Если вы используете алгебраическую форму, вы получите

# z_1 + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (- 1 + i sqrt {3}) = sqrt {3} + i (2 + sqrt {3}) #

Довольно легко. Теперь попробуйте с тригонометрической формой …

# z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) + 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) + 2 (cos (2/3 пи) + я грешу (2/3 пи)) #

оказывается, что кратчайший способ сложить эти два выражения - это решить косинусы и синусы, что означает … обращение к алгебраической форме!

Алгебраическая форма часто является наилучшей формой для сложного числа..

умножение

Теперь мы пытаемся вычислить # Z_1 * z_2 * Z_3 #, Использование алгебраических форм требует много надоедливых вычислений. Но решить этот продукт с помощью тригонометрических форм проще:

# z_1 * z_2 * z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) * 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) * 2 (cos (2/3 пи) + i sin (2/3 пи)) = 4 кв. {2} (cos (пи / 4 + пи / 6 + 2/3 пи) + i sin (пи / 4 + пи / 6 + 2 / 3 пи)) = 4 кв. М {2} (cos (13/12 пи) + i sin (13/12 пи)) #

Ингредиенты для доказательства того, что второе равенство имеет место, происходят из тригонометрии: два формулы сложения

#sin (альфа + бета) = sin (альфа) cos (бета) + sin (бета) cos (альфа) #

#cos (альфа + бета) = cos (альфа) cos (бета) син (альфа) sin (бета) #

Умножение комплексных чисел еще чище (но концептуально не проще) в экспоненциальной форме.

В некотором смысле тригонометрическая форма является своего рода промежуточной формой между алгебраической и экспоненциальной формами. Тригонометрическая форма - это способ переключения между этими двумя. В этом смысле это своего рода «словарь» для «перевода» форм.