Два угла треугольника имеют углы (2 пи) / 3 и (пи) / 4. Если одна сторона треугольника имеет длину 4, каков максимально длинный периметр треугольника?

Ответ:

# P_max = 28,31 # единицы

Объяснение:

Задача дает вам два из трех углов в произвольном треугольнике. Поскольку сумма углов в треугольнике должна составлять до 180 градусов, или #число Пи# радианы, мы можем найти третий угол:

# (2р) / 3 + пи / 4 + х = пи #

# Х = PI- (2р) / 3-пи / 4 #

# Х = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3PI) / 12 #

# Х = пи / 12 #

Давайте нарисуем треугольник:

Проблема гласит, что одна из сторон треугольника имеет длину 4, но она не определяет, какая сторона. Однако в любом данном треугольнике верно, что наименьшее сторона будет противоположной от наименьшего угла.

Если мы хотим максимизировать периметр, мы должны сделать сторону длиной 4 стороной, противоположной наименьшему углу. Поскольку две другие стороны будут больше 4, это гарантирует, что мы максимально увеличим периметр. Следовательно, наш треугольник становится:

Наконец, мы можем использовать закон синусов чтобы найти длины двух других сторон:

#sin (а) / А = Sin (б) / В = Sin (с) / С #

Подключив, мы получаем:

#sin (пи / 12) / 4 = Sin (пи / 4) / х = Sin ((2р) / 3) / г #

Решая для х и у мы получим:

# х = 10,93 # а также # У = 13,38 #

Следовательно, максимальный периметр составляет:

# P_max = 4 + 10,93 + 13,38 #

# P_max = 28,31 #

Замечания: Поскольку проблема не определяет единицы длины в треугольнике, просто используйте «единицы».