Что такое квадратный корень из sqrt ((y ^ 2 - z ^ 2) (z ^ 2 - x ^ 2)) + sqrt ((z ^ 2 - x ^ 2) (x ^ 2 - y ^ 2)) + sqrt ((x ^ 2 - y ^ 2) (y ^ 2 - z ^ 2))?

Ответ:

#sqrt (2) / 2 (SQRT (х ^ 2-у ^ 2) + SQRT (у ^ 2-г ^ 2) + SQRT (г ^ 2-х ^ 2)) #

при условии, по крайней мере, два из следующих трюмов:

# x ^ 2> = y ^ 2 "" y ^ 2> = z ^ 2 "" z ^ 2> = x ^ 2 #

Объяснение:

Обратите внимание, что:

# (Х ^ 2-у ^ 2) + (у ^ 2-г ^ 2) + (г ^ 2-х ^ 2) #

# = цвет (красный) (отмена (цвет (черный) (x ^ 2))) - цвет (красный) (отмена (цвет (черный) (x ^ 2))) + цвет (фиолетовый) (отмена (цвет (черный)) (у ^ 2))) - цвет (фиолетовый) (отменить (цвет (черный) (у ^ 2))) + цвет (фиолетовый) (отменить (цвет (черный) (г ^ 2))) - цвет (фиолетовый) (отмена (цвет (черный) (z ^ 2))) = 0 #

Итак, давайте посмотрим, что происходит, когда мы возводим в квадрат:

#sqrt (х ^ 2-у ^ 2) + SQRT (у ^ 2-г ^ 2) + SQRT (г ^ 2-х ^ 2) #

как квадрат условия отменится …

# (SQRT (х ^ 2-у ^ 2) + SQRT (у ^ 2-г ^ 2) + SQRT (г ^ 2-х ^ 2)) ^ 2 #

# = (SQRT (х ^ 2-у ^ 2)) ^ 2 + (SQRT (у ^ 2-г ^ 2)) ^ 2 + (SQRT (г ^ 2-х ^ 2)) ^ 2 + 2sqrt ((у ^ 2-г ^ 2) (г ^ 2-х ^ 2)) + 2sqrt ((г ^ 2-х ^ 2) (х ^ 2-у ^ 2)) + 2sqrt ((х ^ 2-у ^ 2) (у ^ 2-г ^ 2)) #

# = Цвет (красный) (отмена (цвет (черный) ((х ^ 2-у ^ 2) + (у ^ 2-г ^ 2) + (г ^ 2-х ^ 2)))) + 2sqrt ((у ^ 2-г ^ 2) (г ^ 2-х ^ 2)) + 2sqrt ((г ^ 2-х ^ 2) (х ^ 2-у ^ 2)) + 2sqrt ((х ^ 2-у ^ 2) (у ^ 2-г ^ 2)) #

# = 2 (SQRT ((у ^ 2-г ^ 2) (г ^ 2-х ^ 2)) + SQRT ((г ^ 2-х ^ 2) (х ^ 2-у ^ 2)) + SQRT ((х ^ 2-у ^ 2) (у ^ 2-г ^ 2))) #

Итак, квадратный корень, который мы хотим, это:

#sqrt (2) / 2 (SQRT (х ^ 2-у ^ 2) + SQRT (у ^ 2-г ^ 2) + SQRT (г ^ 2-х ^ 2)) #

#белый цвет)()#

Заметки

Приведенный выше ответ более или менее предполагает, что:

#sqrt (a) sqrt (b) = sqrt (ab) #

Хотя это действительно так, если хотя бы один из #a, b # неотрицательный, он терпит неудачу, если оба отрицательны.

Это может произойти в приведенном выше выводе, если, например:

# 0 <x ^ 2 <y ^ 2 <z ^ 2 #

Тогда мы находим:

#sqrt (x ^ 2-y ^ 2) sqrt (y ^ 2-z ^ 2) = -sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

… противоположный знак того, что нам нужно.