Три стержня массой M и длиной L соединены вместе, образуя равносторонний треугольник. Каков момент инерции системы относительно оси, проходящей через ее центр масс и перпендикулярной плоскости треугольника?

Ответ:

# 1/2 ML ^ 2 #

Объяснение:

Момент инерции одиночного стержня относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной ему, равен

# 1/12 ML ^ 2 #

Это каждой стороны равностороннего треугольника вокруг оси, проходящей через центр треугольника и перпендикулярной его плоскости

# 1 / 12ML ^ 2 + M (L / (2sqrt3)) ^ 2 = 1/6 ML ^ 2 #

(по теореме о параллельной оси).

Момент инерции треугольника вокруг этой оси равен

# 3х 1/6 мл ^ 2 = 1/2 мл ^ 2 #

Предполагая, что стержни тонкие, положение центра масс каждого стержня находится в центре стержня. Поскольку стержни образуют равносторонний треугольник, центр масс системы будет находиться в центре тяжести треугольника.

Позволять # D # быть расстояние от центра тяжести с любой из сторон.

# Г / (L / 2) = tan30 #

# => D = L / 2tan30 #

# => D = L / (2sqrt3) # …..(1)

Момент инерции одиночного стержня относительно оси, проходящей через центроид, перпендикулярный плоскости треугольника, с использованием параллельной оси

#I_ "стержень" = I_ "см" + Md ^ 2 #

Есть три одинаково размещенных стержня, поэтому суммарный момент инерции трех стержней будет

#I_ "система" = 3 (I_ "см" + Мд ^ 2) #

# => I_ "система" = 3I_ "см" + 3Md ^ 2 # …….(2)

Второе слагаемое с использованием (1)

# 3Md ^ 2 = 3M (L / (2sqrt3)) ^ 2 #

# => 3Md ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # …..(3)

Поскольку момент инерции одного стержня относительно его центра масс равен

#I_ "см" = 1 / 12мл ^ 2 #

Первый член в (2) становится

# 3I_ "см" = 3xx1 / 12мл ^ 2 = 1 / 4мл ^ 2 # ….(4)

Используя (3) и (4), уравнение (2) становится

#I_ "system" = 1 / 4ML ^ 2 + 1 / 4ML ^ 2 = 1 / 2ML ^ 2 kgm ^ 2 #