Каково конечное поведение функции f (x) = ln x?

#f (x) = ln (x) -> infty # как #x -> infty # (#ln (х) # растет без ограничений как #Икс# растет без границ) и #f (х) = п (х) -> - infty # как #x -> 0 ^ {+} # (#ln (х) # растет без ограничений в отрицательном направлении, как #Икс# приближается к нулю справа).

Чтобы доказать первый факт, вам необходимо показать, что возрастающая функция #f (х) = п (х) # не имеет горизонтальной асимптоты как #x -> infty #.

Позволять # M> 0 # быть любым данным положительным числом (независимо от того, насколько велико). Если #x> е ^ {M} #, затем #f (х) = п (х)> п (е ^ {М}) = М # (поскольку #f (х) = п (х) # это возрастающая функция). Это доказывает, что любая горизонтальная линия # У = М # не может быть горизонтальной асимптотой #f (х) = п (х) # как #x -> infty #, Дело в том, что #f (х) = п (х) # возрастающая функция теперь подразумевает, что #f (х) = п (х) -> infty # как # X-> infty #.

Чтобы доказать второй факт, пусть # M> 0 # быть любым заданным положительным числом, чтобы # -M <0 # любое заданное отрицательное число (независимо от того, насколько далеко от нуля). Если # 0 <x <e ^ {- M} #, затем #f (х) = п (х) < п (е ^ {- М}) = - M # (поскольку #f (х) = п (х) # повышается). Это доказывает, что #f (х) = п (х) # становится ниже любой горизонтальной линии, если # 0 <x # достаточно близко к нулю. Это означает #f (х) = п (х) -> - infty # как #x -> 0 ^ {+} #.