Вопрос 27939

Ответ:

Как указал Судип Синха # -1 + sqrt3i # НЕ ноль. (Я забыл проверить это.) Другие нули # 1-sqrt3 i # а также #1#.

Объяснение:

Поскольку все коэффициенты являются действительными числами, любые мнимые нули должны встречаться в сопряженных парах.

Следовательно, # 1-sqrt3 i # это ноль.

Если # C # тогда ноль # Г-с # является фактором, поэтому мы могли бы умножить

# (z- (1 + sqrt3 i)) (z- (1-sqrt3 i)) # получить # Г ^ 2-2z +-#

а затем разделить #P (г) # этим квадратичным

Но быстрее рассмотреть возможный рациональный ноль для #П# первый. Или добавьте коэффициенты, чтобы увидеть, что #1# тоже ноль.

Ответ:

#1# а также # 1 - sqrt3 i #

Объяснение:

В вашем вопросе есть ошибка. Корень должен быть # 1 + sqrt3 i #, Вы можете проверить это, поместив значение в выражение. Если это корень, выражение должно быть равно нулю.

Выражение имеет все действительные коэффициенты, поэтому по теореме о комплексных сопряженных корнях (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem) мы имеем следующий сложный корень: # 1 - sqrt3 i #, Понятно, третий корень (скажем # A #) должен быть реальным, поскольку не может иметь комплексного сопряжения; в противном случае будет 4 корня, что невозможно для уравнения 3-й степени.

Заметка

# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

# = ((z - 1) + sqrt3 i) ((z - 1) - sqrt3 i) #

# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # (Поскольку # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

Мы постараемся получить этот фактор в выражении.

Мы можем написать:

# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #

# = z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

Ответ:

В качестве вступления я думаю, что рут должен быть #color (синий) (1 + sqrt3) # и не #color (красный) (- 1 + sqrt3) #

На этой основе мой ответ:

#z в {1, "" 1 + sqrt3, "" 1-sqrt3} #

Объяснение:

Используя идею комплексные конъюгаты и некоторые другие крутые трюки.

#P (г) # полином степени #3#, Это подразумевает, что он должен иметь только #3# корнеплоды.

Интересный факт о сложных корнях заключается в том, что они никогда не встречаются в одиночку. сопряженные пары.

Так что если # 1 + isqrt3 # один корень, то его сопряженный: # 1-isqrt3 # наверняка это тоже рут!

И так как остался только еще один корень, мы можем назвать этот корень # Г = а #.

Это не комплексное число, потому что сложные корни всегда встречаются парами.

И так как это последний из #3# корни, после первой не может быть другой пары!

В конце концов факторы #P (г) # были легко найдены # z- (1 + isqrt3) "," z- (1-isqrt3) "и" (z-a) #

NB: Обратите внимание, что разница между корнем и фактором заключается в том, что:

- Корень может быть # Г = 1 + I #

Но соответствующий фактор будет # Z- (1 + I) #

Второй трюк заключается в том, что, учитывая #P (г) # мы должны получить что-то вроде этого:

#P (z) = z- (1 + isqrt3) z- (1-isqrt3) (z-a) #

Далее разверните брекеты, #P (z) = z ^ 2-z (1 + isqrt3 + 1-isqrt3) + (1 + isqrt3) (1-isqrt3) (z-a) #

# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a) #

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = Г ^ 3 + Z ^ 2 (-a-2) + Z (2а + 4) -4a #

Далее мы приравниваем это к исходному многочлену #P (г) = г ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

# => Г ^ 3 + Z ^ 2 (а + 2) + Z (-2a + 4) -4a = г ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

Поскольку два полинома идентичны, мы приравниваем коэффициенты # Г ^ 3 #, # Г ^ 2 #, # Г ^ 1 #а также # Г ^ 0 #(постоянный член) с обеих сторон,

На самом деле, нам просто нужно выбрать одно уравнение и решить его для # A #

Приравнивая постоянные члены, # => - 4a = -4 #

# => А = 1 #

Следовательно, последний корень #color (синий) (г = 1) #