Доказательство того, что N = (45 + 29 sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 sqrt (2)) ^ (1/3) является целым числом?

Ответ:

Рассматривать # t ^ 3-21t-90 = 0 #

Это имеет один реальный корень, который #6# а.к.а. # (45 + 29sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29sqrt (2)) ^ (1/3) #

Объяснение:

Рассмотрим уравнение:

# t ^ 3-21t-90 = 0 #

Используя метод Кардано, чтобы решить это, пусть #t = u + v #

Затем:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-7) (u + v) -90 = 0 #

Исключить термин в # (U + V) #добавить ограничение # Уф = 7 #

Затем:

# u ^ 3 + 7 ^ 3 / u ^ 3-90 = 0 #

Умножить на # И ^ 3 # и переставить, чтобы получить квадратичный в # И ^ 3 #:

# (u ^ 3) ^ 2-90 (u ^ 3) +343 = 0 #

по квадратной формуле это имеет корни:

# u ^ 3 = (90 + -кврт (90 ^ 2- (4 * 343))) / 2 #

# color (white) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (8100-1372) #

# color (white) (u ^ 3) = 45 + - 1/2 кв. (6728) #

# color (white) (u ^ 3) = 45 + - 29 кв. (2) #

Так как это реальное и вывод был симметричным в # # U а также # V #мы можем использовать один из этих корней для # И ^ 3 # а другой для # V ^ 3 # сделать вывод, что реальный ноль # Т ^ 3-21t-90 # является:

# t_1 = root (3) (45 + 29 кв. (2)) + root (3) (45-29 кв. (2)) #

но мы находим:

#(6)^3-21(6)-90 = 216 - 126 - 90 = 0#

Так что настоящий ноль # Т ^ 3-21t-90 # является #6#

Так # 6 = root (3) (45 + 29 кв. (2)) + root (3) (45-29 кв. (2)) #

#белый цвет)()#

сноска

Чтобы найти кубическое уравнение, я использовал метод Кардано в обратном направлении.

Ответ:

#N = 6 #

Объяснение:

Изготовление #x = 45 + 29 кв.м. (2) # а также #y = 45-29 кв. (2) # затем

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = x + 3 (xy) ^ (1/3) x ^ (1/3) +3 (xy) ^ (1/3) y ^ (1/3) + y #

# (x y) ^ (1/3) = (7 ^ 3) ^ (1/3) = 7 #

# x + y = 2 xx 45 #

так

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = 90 + 21 (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) #

или звонит #z = x ^ (1/3) + y ^ (1/3) # у нас есть

# z ^ 3-21 z-90 = 0 #

с # 90 = 2 хх 3 ^ 2 хх 5 # а также #z = 6 # это корень так

# x ^ (1/3) + y ^ (1/3) = 6 #