Ответ:
Это иррациональное число и, следовательно, реальное.
Объяснение:
Давайте сначала докажем, что #sqrt (21) # является действительным числом, на самом деле квадратный корень всех положительных действительных чисел является действительным. Если #Икс# является действительным числом, то мы определяем для положительных чисел #sqrt (х) = "SUP" {yinRR: у ^ 2 <= х} #, Это означает, что мы смотрим на все действительные числа # У # такой, что # У ^ 2 <= х # и взять наименьшее действительное число, которое больше, чем все эти # У #Это так называемый супремум. Для отрицательных чисел эти # У #Их не существует, поскольку для всех действительных чисел взятие квадрата этого числа приводит к положительному числу, а все положительные числа больше отрицательных.
Для всех положительных чисел всегда есть некоторые # У # это соответствует условию # У ^ 2 <= х #а именно #0#, Кроме того, существует верхняя граница для этих чисел, а именно # х + 1 #, так как если # 0 <= у <1 #, затем # Х + 1> у #, если #Y> = 1 #, затем #Y <= у ^ 2 <= х #, так # Х + 1> у #, Мы можем показать, что для каждого ограниченного непустого набора действительных чисел всегда существует уникальное действительное число, которое действует как супремум из-за так называемой полноты # RR #, Так что для всех положительных вещественных чисел #Икс# есть настоящий #sqrt (х) #, Мы также можем показать, что в этом случае #sqrt (х) ^ 2 = х #, но если вы не хотите, чтобы я, я не буду доказывать это здесь. Наконец, отметим, что #sqrt (х)> = 0 #, поскольку #0# это число, которое соответствует условию, как указано выше.
Теперь за иррациональность #sqrt (21) #, Если бы это не было иррационально (настолько рационально), мы могли бы написать это как #sqrt (21) = A / B # с # A # а также # Б # целые числа и # A / B # максимально упрощен, а это означает, что # A # а также # Б # не имеют общего делителя, кроме #1#, Теперь это означает, что # 21 = а ^ 2 / б ^ 2 #.
Теперь мы используем то, что называется простой факторизацией натуральных чисел. Это означает, что мы можем записать каждое положительное целое число как уникальный продукт простых чисел. За #21# это #3*7# и для # A # а также # Б # это произвольное произведение простых чисел # А = a_1 * … * a_n # а также # Б = b_1 * … * b_m #, Тот факт, что единственный общий делитель # A # а также # Б # является #1# эквивалентно тому, что # A # а также # Б # не делите простых чисел в их факторизации, поэтому есть # A_i # а также # B_j # такой, что # A_i = b_j #, Это означает, что # А ^ 2 # а также # Б ^ 2 # также не делите простых чисел, так как # А ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # а также # Б ^ 2 = b_1 * b_1 * … * b_m b_m #., следовательно, единственный общий делитель # А ^ 2 # а также # Б ^ 2 # является #1#, поскольку # А ^ 2 = 21b ^ 2 #, это означает # Б ^ 2 = 1 #, так # Б = 1 #, Следовательно #sqrt (21) = а #, Обратите внимание, что это верно только в предположении, что #sqrt (21) # рационально.
Теперь мы можем, конечно, пройти через все целые положительные числа меньше #21# и проверьте, дает ли их квадратура #21#, но это скучный метод. Чтобы сделать это более интересным способом, мы снова обратимся к нашим простым. Мы знаем это # А ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # а также #21=3*7#, так # 3 * 7 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n #, С левой стороны каждое простое число встречается только один раз, с правой стороны каждое простое число встречается не менее двух раз и всегда равное количество раз (если # A_1 = a_n # это должно было произойти как минимум четыре раза). Но, как мы уже говорили, эти основные факторизации уникальны, поэтому это не может быть правдой. Следовательно # 21nea ^ 2 #, так #anesqrt (21) #Это означает, что наше более раннее предположение о #sqrt (21) # быть рациональным оказывается ошибочным, поэтому #sqrt (21) # иррационально
Обратите внимание, что тот же аргумент справедлив для любого положительного целого числа #Икс# с простой факторизацией, когда одно из простых чисел появляется неравномерное число раз, поскольку квадрат целого числа всегда имеет все свои главные факторы, появляющиеся четное количество раз. Из этого мы заключаем, что если #Икс# целое положительное число (#x inNN #) имеет главный фактор, который встречается только в разное количество раз, #sqrt (х) # будет иррациональным.
Я знаю, что это доказательство может показаться немного длинным, но оно использует важные понятия из математики. Вероятно, в любой учебной программе средней школы подобные рассуждения не включены (я не уверен на 100%, я не знаю учебную программу каждой средней школы в мире), но для реальных математиков доказательство является одним из самые важные виды деятельности, которые они делают. Поэтому я хотел показать вам, какая математика стоит за получением квадратного корня вещей. Что вам нужно от этого отнять, так это на самом деле #sqrt (21) # иррациональное число.
