Как использовать тест первой производной для определения локальных экстремумов y = sin x cos x?

Ответ:

Экстремум для # У = Sin (х) соз (х) # являются

# Х = пи / 4 + НПИ / 2 #

с # П # относительное целое число

Объяснение:

Быть #f (х) # функция, представляющая изменение # У # с представлением в #Икс#.

Быть #f '(х) # производная от #f (х) #.

#f '(а) # это наклон #f (х) # кривая на # х = # точка.

Когда наклон положительный, кривая увеличивается.

Когда наклон отрицателен, кривая уменьшается.

Когда наклон равен нулю, кривая остается на том же значении.

Когда кривая достигает экстремума, она перестает увеличиваться / уменьшаться и начинает уменьшаться / увеличиваться. Другими словами, наклон будет переходить от положительного к отрицательному или отрицательного к положительному, переходя в нулевое значение

Поэтому, если вы ищете экстремумы функции, вы должны искать нулевые значения ее производной.

Нотабене Существует ситуация, когда производная равна нулю, но кривая не достигает экстремума: она называется точкой перегиба. кривая на мгновение перестанет расти / уменьшаться, а затем возобновит свое увеличение / уменьшение. Поэтому вам также следует проверить, изменяется ли знак уклона вокруг его нулевого значения.

Пример: #f (х) = Sin (х) соз (х) = у #

#f '(х) = (DSIN (х)) / dxcdotcos (х) + Sin (х) CDOT (DCOS (х)) / дх #

# = Соз (х) cdotcos (х) + Sin (х) CDOT (-sin (х)) = соз ^ 2 (х) -sin ^ 2 (х) #

Теперь, когда у нас есть формула для #f '(х) #, мы будем искать его нулевые значения:

#f '(x) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = 0 rarr cos ^ 2 (x) = sin ^ 2 (x) #

Решения # Пи / 4 + НПИ / 2 # с # П # относительное целое число

Ответ:

Даже если мы планируем использовать первый производный тест, стоит отметить, что #y = 1/2 sin (2x) #.

Объяснение:

Сделав это наблюдение, нам не нужно исчисление, чтобы найти экстремумы.

Мы можем положиться на наши знания тригонометрии и графики синусоидальных функций

Максимальное значение (1/2) произойдет, когда # 2x = pi / 2 + 2pik # или когда #x = pi / 4 + pik # за # К # целое число

Минимум происходит при #x = 3pi / 4 + pik # за # К # целое число

Мы можем использовать производную, но нам это не нужно.

Использование производного

Переписав # У #мы можем быстро увидеть, что #y '= cos (2x) #

Таким образом, критические цифры для # У # являются # 2x = pi / 2 + 2pik # а также # 2x = (3pi) / 2 + 2pik #, (когда косинус #0#) или же

# x = pi / 4 + pik # а также # x = (3pi) / 4 + pik #

Проверка знака #y '= cos (2x) #, мы найдем максимальные значения в первом наборе критических чисел и минимальные значения во втором.