Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) Рассчитать значение ожидания в любое более позднее время t = t_1, phi_n являются собственными функциями энергии бесконечной потенциальной ямы. Напишите ответ в терминах E_0?

Ну я получаю # 14 / 5E_1 #… и с учетом выбранной вами системы, она не может быть выражена в терминах # E_0 #.

В этом вопросе так много правил квантовой механики …

# Phi_0 #, поскольку мы используем бесконечные решения потенциальных ям, автоматически исчезает … #n = 0 #, так #sin (0) = 0 #.

И для контекста, мы позволили #phi_n (x) = sqrt (2 / L) sin ((npix) / L) #…

это невозможно написать ответ в терминах # E_0 # так как #n = 0 # НЕ существует для бесконечной потенциальной ямы. Если вы не хотите, чтобы частица пропадать Я должен написать это с точки зрения # E_n #, #n = 1, 2, 3,.,, #…
Энергия является константой движения, т.е. # (d << E >>) / (dt) = 0 #…

А сейчас…

#Psi_A (x, 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) sin ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) sin ((2pix) / L) #

Значение ожидания является константой движения, поэтому нам все равно, во сколько # T_1 # мы выбираем. В противном случае, это не консервативная система …

# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # для некоторых #n = 1, 2, 3,.,, #

Фактически, мы уже знаем, что это должно быть, так как гамильтониан для одномерной бесконечной потенциальной ямы НЕЗАВИСИМО от времени …

#hatH = -ℏ ^ 2 / (2 м) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (delt) = 0 #

и # (Е ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*" (е ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # перейти к 1 в интеграле:

#color (blue) (<< E >>) = (1 / 3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ "*" (x, t) hatHPhi_1 (x, t) dx + 1 / 2int_ (0) ^ (L) Phi_2 ^ "*" (x, t) hatHPhi_2 (x, t) dx) / (<< Psi | Psi >>) #

где мы позволили #Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #, Опять же, все фазовые факторы компенсируются, и мы отмечаем, что недиагональные члены стремятся к нулю из-за ортогональности # Phi_n #.

Знаменатель является нормой # Пси #, который

#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 #.

Следовательно, # << Пси | Пси >> = 5/6 #, Это дает:

# => (1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) отмены (e ^ (iE_1t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((pix) / L) отмены (e ^ (-iE_1t_http: // ℏ)) dx + (1 / sqrt2) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) отмены (e ^ (iE_2t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2 м) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((2pix) / L) отменить (е ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) ах / (5 // 6) #

Применить производные:

# = 6/5 1/3 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot pi ^ 2 / L ^ 2 sin ((pix) / L) dx + 1/2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot (4pi ^ 2) / L ^ 2 Sin ((2pix) / л) ах #

Константы всплывают:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2 мл ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((пикс) / L) sin ((пикс) / L) dx + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2 мл ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) sin ((2pix) / L) dx #

И этот интеграл, как известно, по физическим причинам находится на полпути между #0# а также # L #, независим от # П #:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2 мл ^ 2) (2 / л) L / 2 + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2 мл ^ 2) (2 / L) L / 2 #

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2 мл ^ 2) + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2 мл ^ 2) #

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = цвет (синий) (14/5 E_1) #

Ответ:

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0 #

Объяснение:

Каждому стационарному состоянию соответствует собственное значение энергии # E_n # подбирает фазовый фактор #e ^ {- iE_n t} # вовремя эволюция. Данное состояние не стационарное состояние - поскольку это суперпозиция собственных состояний энергии, принадлежащих различным собственным значениям. В результате он будет развиваться во времени нетривиальным образом. Однако уравнение Шредингера, которое управляет эволюцией состояний во времени, является линейным - так что собственная функция энергии каждого компонента эволюционирует независимо - подбирая свой собственный фазовый фактор.

Итак, стартовая волновая функция

#psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) #

развивается во времени # Т # в

#psi_A (x, t) = sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t} #

Таким образом, значение ожидаемой энергии во время # Т # дан кем-то

# <E> = int_-infty ^ infty psi_A ** (x, t) hat {H} psi_A (x, t) dx #

# = int_infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {iE_2ℏ t}) hat {H} (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

# = int_-infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {iE_2 / ℏ t}) раз (sqrt (1/6) E_0phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) E_1phi_1 (x) e ^ { -iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) E_2phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

где мы использовали тот факт, что #phi_i (х) # являются собственными функциями энергии, так что #hat {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

Это все еще дает нам девять сроков. Тем не менее, окончательный расчет значительно упрощается благодаря тому факту, что собственные функции энергии ортонормированы, то есть они подчиняются

# int_-infty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {ij} #

Это означает, что из девяти интегралов выживают только три, и мы получаем

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 #

Используя стандартный результат, который #E_n = (n + 1) ^ 2 E_0 #, у нас есть # E_1 = 4E_0 # а также # E_2 = 9E_0 # для бесконечной потенциальной ямы (вы можете быть более привыкли к выражению, которое говорит #E_n propto n ^ 2 # для бесконечного колодца - но в них основное состояние помечено # E_1 # - здесь мы маркируем это # E_0 # - отсюда и перемены). таким образом

# <E> = (1/6 раз 1 + 1/3 раза 4 + 1/2 раза 9) E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

Замечания:

В то время как отдельные собственные функции энергии эволюционируют во времени, подбирая фазовый фактор, общую волновую функцию не отличаются от исходного только фазовым коэффициентом - поэтому он больше не является стационарным.
Интегралы были похожи

# int_-infty ^ infty psi_i (x) e ^ {+ iE_i / ℏ t} E_j psi_j e ^ {- iE_j / ℏ t} dx = E_j e ^ {i (E_i-E_j) / ℏt} раз int_-infty ^ infty psi_i (x) psi_j (x) dx #

и они выглядят так, как будто они зависят от времени. Тем не менее, единственные интегралы, которые выживают, являются те для # I = J # - и это именно те, для которых зависимость от времени отменяется.
Последние результаты соответствуют тому, что #hat {H} # сохраняется - даже если состояние не является стационарным - значение ожидаемой энергии не зависит от времени.
Исходная волновая функция уже нормализована, так как # (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # и эта нормализация сохраняется во времени эволюции.
Мы могли бы сократить большую работу, если бы использовали стандартный квантово-механический результат - если волновая функция развернута в виде #psi = sum_n c_n phi_n # где # Phi_n # являются собственными функциями эрмитова оператора #hat {А} #, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n #, затем # <hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #при условии, конечно, что государства должным образом нормализованы.