Ответ:
Касательная линия параллельна #Икс# ось, когда наклон (следовательно, # Ду / дх #) равен нулю и параллелен # У # ось, когда наклон (опять же, # Ду / дх #) идет к # Оо # или же # -Со #
Объяснение:
Начнем с поиска # Ду / дх #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #
# 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 #
# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #
Сейчас, # dy / dx = 0 # когда нумератор #0#при условии, что это также не делает знаменатель #0#.
# 2x + у = 0 # когда #y = -2x #
Теперь у нас есть два уравнения:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
#y = -2x #
Решить (по замене)
# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
С помощью #y = -2x #, мы получаем
Касательная к кривой горизонтальна в двух точках:
# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # а также # (- sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #
(Обратите внимание, что эти пары также не составляют знаменатель # Ду / дх # равно #0#)
Чтобы найти точки, в которых касательная является вертикальной, сделайте знаменатель # Ду / дх # равный тпо #0# (без создания нумератора #0#).
Мы могли бы пройти через решение, но симметрию уравнения мы получим:
# Х = -2y #, так
#y = + - sqrt21 / 3 #
и точки на кривой, в которой касательная является вертикальной:
# (- (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # а также # ((2sqrt21) / 3, -sqrt21 / 3) #
Кстати. Поскольку у нас есть технология, вот график этого повернутого эллипса: (Обратите внимание, что # + - sqrt21 / 3 ~~ + - 1.528 # который вы можете увидеть на графике.)
график {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11,3, 11,2, -5,665, 5,585}
Ответ:
Используя только математику средней школы, я получаю
Касательные параллельны оси X в точке:
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) и (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Касательные параллельны оси Y в точке:
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) и (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Объяснение:
Я взглянул на ответ Джима, который выглядит как хорошая стандартная обработка исчисления. Но я не мог не чувствовать грусти по всем ученикам средних школ в Сократе, которые хотят найти касательные алгебраических кривых, но все еще находятся на расстоянии лет от исчисления.
К счастью, они могут решить эти проблемы, используя только алгебру I.
# Х ^ 2 + х + у ^ 2 = 7 #
Это может быть немного сложно для первого примера, но давайте продолжим. Мы пишем нашу кривую как #f (х, у) = 0 # где
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
Давайте принимать # (R, S) # как точка на # Е #, Мы хотим исследовать # Е # возле # (R, S) # поэтому мы пишем
#f (x, y) = f (r + (x-r), s + (y-s)) #
# = (r + (x-r)) ^ 2 + (r + (x-r)) (s + (y-s)) + (s + (y-s)) ^ 2-7 #
Мы расширяем, но мы не расширяем условия разницы # X-R # а также # Y-S #, Мы хотим сохранить их нетронутыми, чтобы потом поэкспериментировать с их устранением.
#f (x, y) = r ^ 2 + 2r (xr) + (xr) ^ 2 + (rs + s (xr) + r (ys) + (xr) (ys)) + s ^ 2 + 2s (да) + (да) ^ 2-7 #
# = (r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) (YS) #
# = f (r, s) + (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Мы сказали # (R, S) # находится на # Е # так #f (R, S) = 0 #.
#f (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Мы отсортировали термины по степени, и мы можем поэкспериментировать с приближениями к # Е # возле # (R, S) # опустив высшие градусы. Идея заключается в том, когда # (Х, у) # близко # (R, S) # затем # X-R # а также # Y-S # маленькие, а их квадраты и произведение еще меньше.
Давайте просто сгенерируем некоторые приближения к # Е #, поскольку # (R, S) # находится на кривой, постоянное приближение, отбрасывая все разностные члены, # f_0 (x, y) = 0 #
Это не особенно интересно, но это правильно говорит нам о точках рядом # (R, S) # даст значение около нуля для # Е #.
Давайте сделаем интереснее и сохраним линейные условия.
# f_1 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Когда мы устанавливаем это в ноль, мы получаем лучшее линейное приближение к # Е # возле # (R, S), # какой касательная линия в # Е # в # (R, S). # Теперь мы куда-то добираемся.
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Мы можем рассмотреть и другие приближения:
# f_2 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 #
# f_3 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Это касательные высшего порядка, к которым студенты колледжа по математике почти не доходят. Мы уже вышли за рамки исчисления в колледже.
Есть больше приближений, но меня предупреждают, что это становится длинным. Теперь, когда мы научились делать исчисление, используя только алгебру I, давайте решим проблему.
Мы хотим найти точки, где касательная линия параллельна #Икс# ось и # У # ось.
Мы нашли нашу касательную в # (R, S) # является
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Параллельно с #Икс# ось означает уравнение #y = text {constant} #, Так что коэффициент на #Икс# должно быть ноль:
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (R, S) # находится на кривой, так #f (R, S) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
поскольку # S = 2г # точки
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) и (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Точно так же параллельно оси Y означает # 2s + г = 0 # который должен просто поменять местами x и y из-за симметрии задачи. Таким образом, другие моменты
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) и (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Проверьте.
Как проверить? Давайте сделаем Альфа-сюжет.
участок x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7, x = -sqrt {7/3}, y = 2 sqrt {7/3}, x = 2sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3 }
Выглядит хорошо. Исчисление на алгебраических кривых. Довольно хорошо для средней школы.
