Докажите, что элемент интегральной области является единицей, если он генерирует домен.

Докажите, что элемент интегральной области является единицей, если он генерирует домен.
Anonim

Ответ:

Утверждение неверно.

Объяснение:

Рассмотрим кольцо чисел вида:

# А + bsqrt (2) #

где #a, b в QQ #

Это коммутативное кольцо с мультипликативным тождеством #1 != 0# и нет делителей нуля. То есть это неотъемлемая область. Фактически это также поле, поскольку любой ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный.

Мультипликативный обратный ненулевой элемент формы:

# a + bsqrt (2) "" # является # "" a / (a ^ 2-2b ^ 2) -b / (a ^ 2-2b ^ 2) sqrt (2) #.

Тогда любое ненулевое рациональное число является единицей, но не порождает всего кольца, поскольку порожденная им подстрока будет содержать только рациональные числа.