Пусть G группа и H G. Докажите, что единственным правым смежным классом H в G, который является подкольцом группы G, является сам H.?

Ответ:

Предполагая, что вопрос (как поясняется в комментариях):

Позволять #Г# быть группой и #H leq G #, Докажите, что единственный правильный класс #ЧАС# в #Г# это подгруппа #Г# является #ЧАС# сам.

Объяснение:

Позволять #Г# быть группой и #H leq G #, Для элемента #g in G #Правильный класс #ЧАС# в #Г# определяется как:

# => Hg = {hg: h in H} #

Давайте предположим, что #Hg leq G #, Тогда элемент идентичности #e in Hg #, Однако мы обязательно знаем, что #e in H #.

поскольку #ЧАС# является правильным смежным классом, и два правильных смежных класса должны быть или идентичны или не пересекаются, мы можем заключить #H = Hg #

=================================================

Если это не ясно, давайте попробуем доказательство, исключающее символы.

Позволять #Г# быть группой и пусть #ЧАС# быть подгруппой #Г#, Для элемента #г# принадлежность к #Г#, вызов # Hg # правильный класс #ЧАС# в #Г#.

Предположим, что правильный класс смежности # Hg # является подгруппой #Г#, Тогда элемент идентичности # Е # принадлежит # Hg #, Тем не менее, мы уже знаем, что элемент идентичности # Е # принадлежит #ЧАС#.

Два правых смежных класса должны быть одинаковыми или непересекающимися. поскольку #ЧАС# это правильный класс, # Hg # является правильным смежным классом, и оба содержат # Е #, они не могут быть непересекающимися. Следовательно, #ЧАС# а также # Hg # должно быть идентичным или #H = Hg #