Каков диапазон квадратичной функции f (x) = 5x ^ 2 + 20x + 4?

# (x + 2) ^ 2 = x ^ 2 + 4x + 4 #

# 5 (x + 2) ^ 2 = 5x ^ 2 + 20x + 20 #

Так

#f (x) = 5x ^ 2 + 20x + 4 #

# = 5x ^ 2 + 20x + 20-16 #

# = 5 (x + 2) ^ 2-16 #

Минимальное значение #f (х) # произойдет, когда # х = -2 #

#f (-2) = 0-16 = -16 #

Отсюда и диапазон #f (х) # является # - 16, оо) #

Более подробно, пусть #y = f (x) #, затем:

#y = 5 (x + 2) ^ 2 - 16 #

добавлять #16# в обе стороны, чтобы получить:

#y + 16 = 5 (x + 2) ^ 2 #

Разделите обе стороны на #5# получить:

# (x + 2) ^ 2 = (y + 16) / 5 #

затем

# x + 2 = + -sqrt ((y + 16) / 5) #

вычитать #2# с обеих сторон получить:

#x = -2 + -sqrt ((y + 16) / 5) #

Квадратный корень будет определен только тогда, когда #y> = -16 #, но для любого значения #y in -16, oo) #эта формула дает нам одно или два значения #Икс# такой, что #f (x) = y #.