Как вы используете биномиальный ряд для расширения sqrt (z ^ 2-1)?

Ответ:

#sqrt (z ^ 2-1) = i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #

Объяснение:

Я бы очень хотел пройти двойную проверку, потому что как студент-физик я редко выхожу # (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx # для маленького х, так что я немного ржавый. Биноминальный ряд является специализированным случаем биномиальной теоремы, которая утверждает, что

# (1 + x) ^ n = sum_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k #

С # ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) … (n-k + 1)) / (k!) #

Что у нас есть # (Г ^ 2-1) ^ (1/2) #, это не правильная форма. Чтобы исправить это, вспомните, что # я ^ 2 = -1 # итак имеем:

# (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) #

Теперь это в правильной форме с #x = -z ^ 2 #

Поэтому расширение будет:

#i 1 -1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 +… #

#i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #