Как вы используете биномиальный ряд для расширения sqrt (1 + x)?

Ответ:

#sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = сумма (http: // 2) _k / (k!) x ^ k # с #x в CC #

Используйте обобщение биномиальной формулы для комплексных чисел.

Объяснение:

Существует обобщение биномиальной формулы на комплексные числа.

Общая формула биномиального ряда представляется # (1 + z) ^ r = сумма ((r) _k) / (k!) Z ^ k # с # (r) _k = r (r-1) (r-2) … (r-k + 1) # (согласно Википедии). Давайте применим это к вашему выражению.

Это степенной ряд, поэтому очевидно, что если мы хотим иметь шансы, что это не расходится, нам нужно установить #absx <1 # и вот как вы расширяетесь #sqrt (1 + х) # с биноминальной серией.

Я не собираюсь демонстрировать, что формула верна, но это не слишком сложно, вы просто должны увидеть, что сложная функция, определенная # (1 + г) ^ г # является голоморфным на единичном диске, вычислите каждую его производную в 0, и это даст вам формулу Тейлора функции, что означает, что вы можете развить ее как степенной ряд на единичном диске, потому что #absz <1 #отсюда и результат.