Это тригонометрическое доказательство обобщенного случая, вопрос в поле подробностей?

Ответ:

Доказательство по индукции ниже.

Объяснение:

Давайте докажем эту идентичность по индукции.

А. Для # П = 1 # мы должны проверить это

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Действительно, используя идентичность #cos (2theta) = 2cos ^ 2 (тета) -1 #, Мы видим, что

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2cos ^ 2 (theta) -1) +1 = 4cos ^ 2 (theta) -1 = #

# = (2cos (тета) -1) * (2cos (тета) +1) #

из чего следует, что

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Таким образом, для # П = 1 # наша идентичность верна.

Б. Предположим, что идентичность верна для # П #

Итак, мы предполагаем, что

# (2cos (2 ^ jtheta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j в 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(условное обозначение #Число Пи# используется для продукта)

C. Используя предположение B выше, давайте докажем тождество для # П + 1 #

Мы должны доказать, что из предположения B следует

# (2cos (2 ^ (n + 1) тета) +1) / (2cos (тета) +1) = Pi _ (j в 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(обратите внимание, что правая граница для индекса умножения # П # сейчас).

Доказательство

Используя личность #cos (2x) = 2cos ^ 2 (х) -1 # за # Х = 2 ^ ntheta #, # 2cos (2 ^ (n + 1) тета) +1 = 2cos (2 * (2 ^ n * тета)) + 1 = #

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 +1 = #

# = 4cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 #

Разделите начальные и конечные выражения на # 2cos (тета) +1 #, получая

# 2cos (2 ^ (n + 1) тета) +1 / 2cos (тета) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 / 2cos (theta) +1 #

Теперь мы используем предположение B, получая

# 2cos (2 ^ (n + 1) тета) +1 / 2cos (тета) +1 = #

# = 2cos (2 ^ jtheta) -1 * Pi _ (j in 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 = #

# = Pi _ (j in 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(обратите внимание, диапазон индекса теперь расширен до # П #).

Последняя формула точно такая же для # П + 1 # как оригинал для # П #, Это завершает доказательство по индукции, что наша формула верна для любого # П #.

Ответ:

См. Раздел «Доказательство в объяснении» ниже.

Объяснение:

Это эквивалентно тому, чтобы доказать это, # (2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) = (2cos2 ^ nx + 1) #

# "The L.H.S." = {(2cosx + 1) (2cosx-1)} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4cos ^ 2x-1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (п-1) х-1) #

# = {4 ((1 + cos2x) / 2) -1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) …. (2cos2 ^ (п-1) х-1) #

# = (2cos2x + 1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (п-1) х-1) #

# = (4cos ^ 2 (2x) -1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (п-1) х-1) #

# = (2cos (2 * 2x) + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (п-1) х-1) #

# = (2cos4x + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (п-1) х-1) #

# = (2cos8x + 1), … (2cos2 ^ (п-1) х-1) #

# Vdots #

# = {2cos (2 * 2 ^ (п-1) х) + 1)} #

# = (2cos2 ^ щ + 1) #

# = "R.H.S." #

Наслаждайтесь математикой!