Предположим, на мирной конференции присутствуют м марсиане и н земляне. Чтобы марсиане оставались спокойными на конференции, мы должны убедиться, что нет двух марсиан, сидящих вместе, чтобы между любыми двумя марсианами был хотя бы один землянин? (См. Подробности)

Ответ:

а) # (П! (П + 1)!) / ((П-т + 1)!) #

б) # (П! (П-1)!) / ((П-т)!) #

Объяснение:

В дополнение к некоторым дополнительным рассуждениям, мы будем использовать три распространенных метода для подсчета.

Во-первых, мы будем использовать тот факт, что если есть # П # способы сделать одну вещь и # М # способы сделать другое, то, предполагая, что задачи независимы (то, что вы можете сделать для одного, не зависит от того, что вы сделали в другом), есть # Нм # способы сделать оба. Например, если у меня есть пять рубашек и три пары брюк, то есть #3*5=15# наряды я могу сделать.

Во-вторых, мы будем использовать это количество способов заказа # К # объекты Йк! #, Это потому что есть # К # способы выбора первого объекта, а затем # K-1 # способы выбора второго и тд и тп. Таким образом, общее количество способов Йк (к-1) (к-2) … (2) (1) = к #!

Наконец, мы будем использовать это количество способов выбора # К # объекты из набора # П # объекты # ((n), (k)) = (n!) / (k! (n-k)!) # (произносится как п выбрать к). Схема того, как прийти к этой формуле, приведена здесь.

а) Если мы сначала проигнорируем расщепления, то # м #! способы заказать марсиан и #n #! способы заказать землян. Наконец, нам нужно увидеть, где находятся марсиане. Поскольку каждый марсианин должен быть расположен либо на конце, либо между двумя землянами, есть # П + 1 # места, где они могут сидеть (одно слева от каждого землянина, а затем еще одно в крайнем правом). Как есть # М # Марсиане, это означает, что есть # ((n + 1), (m)) = ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) # возможные способы их размещения. Таким образом, общее количество мест для сидения

#n! m! ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) = (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!) #

б) Эта проблема похожа на вышеизложенную. Чтобы упростить ситуацию, давайте выберем землянина и назовем его президентом. Поскольку не имеет значения, как вращается круг, вместо того, чтобы ссылаться на расстановку сидений, основанную на абсолютном упорядочении, мы рассмотрим расстановку сидений, основанную на их отношении к президенту.

Как и выше, если мы начнем с президента и продолжим по кругу по часовой стрелке, мы сможем подсчитать количество способов упорядочения оставшихся участников. Как есть # М # Марсиане и # П-1 # остальные земляне, есть # м #! способы заказать марсиан и # (П-1)! # способы заказа оставшихся землян.

Далее нам снова нужно позиционировать марсиан. На этот раз у нас нет дополнительного места в конце, поэтому есть только # П # места они могут сидеть. Тогда есть # ((П), (м)) = (п!) / (М! (П-т)!) # способы их размещения. Таким образом, общее количество мест для сидения

# (П-1)! М! (П!) / (М! (П-т)!) = (П! (П-1)!) / ((П-т)!) #