Как вы можете доказать sec (x) + 1 + ((1-tan ^ 2 (x)) / (sec (x) -1)) = cos (x) / (1-cos (x))?

Ответ:

Сделайте некоторое сопряженное умножение, используйте триггерные тождества и упростите. Увидеть ниже.

Объяснение:

Напомним, пифагорейская идентичность # Грешить ^ 2x + соз ^ 2x = 1 #, Разделите обе стороны на # соз ^ 2x #:

# (Син ^ 2х + соз ^ 2x) / соз ^ 2x = 1 / соз ^ 2x #

# -> загар ^ 2x + 1 = сек ^ 2x #

Мы будем использовать эту важную личность.

Давайте сосредоточимся на этом выражении:

# Secx + 1 #

Обратите внимание, что это эквивалентно # (Secx + 1) / 1 #, Умножьте верх и низ на # Secx-1 # (этот метод известен как сопряженное умножение):

# (Secx + 1) / 1 * (secx-1) / (secx-1) #

# -> ((secx + 1) (secx-1)) / (secx-1) #

# -> (с ^ 2x-1) / (secx-1) #

От # Загар ^ 2x + 1 = сек ^ 2x #, Мы видим, что # Загар ^ 2x = сек ^ 2x-1 #, Поэтому мы можем заменить числитель на # Загар ^ 2x #:

# (Загар ^ 2x) / (secx-1) #

Наша проблема сейчас гласит:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

У нас есть общий знаменатель, поэтому мы можем добавить дроби в левой части:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> (тангенс ^ 2х + 1-тан ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Касательные отменяют:

# (Отмена (тангенс ^ 2x) + 1-отменить (тангенс ^ 2x)) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Оставив нас с:

# 1 / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

поскольку # Secx = 1 / cosx #мы можем переписать это как:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

Добавляя дроби в знаменатель, мы видим:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / (1 / cosx- (cosx) / (cosx)) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / ((1-cosx) / cosx) = cosx / (1-cosx) #

Использование собственности # 1 / (A / B) = B / A #, у нас есть:

# Cosx / (1-cosx) = cosx / (1-cosx) #

И это завершает доказательство.

# LHS = (secx + 1) + (1-тан ^ 2x) / (secx-1) #

# = ((Secx + 1) (secx-1) + 1-тан ^ 2x) / (secx-1) #

# = (Сек ^ 2x-1 + 1-тан ^ 2x) / (secx-1) #

# = Cosx / cosx * ((сек ^ 2x-тан ^ 2x)) / ((secx-1)) #

#color (красный) ("ввод", сек ^ 2x-тан ^ 2x = 1) #

# = Cosx / (cosxsecx-cosx) #

#color (красный) ("ввод", cosxsecx = 1) #

# = Cosx / (1-cosx) = РИТ #