Что такое квадратный корень из 5?

Квадратный корень #5# нельзя упростить отца, чем он уже есть, так что вот # Sqrt5 # до десяти знаков после запятой:

# Sqrt5 ~~ 2,2360679775 … #

Ответ:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …)))))) ~~ 2889/1292 ~~ 2.236068 # иррациональное число.

Объяснение:

Все положительные числа обычно имеют два квадратных корня, положительный и отрицательный одинакового размера. Обозначим положительный (главный) квадратный корень из # П # от #sqrt (п) #.

Квадратный корень числа # П # это число #Икс# такой, что # x ^ 2 = n #, Так что если # x ^ 2 = n # тогда также # (- x) ^ 2 = n #.

Тем не менее, популярным является то, что «квадратный корень» относится к положительному.

Предположим, у нас есть положительное число #Икс# который удовлетворяет:

#x = 2 + 1 / (2 + x) #

Затем умножая обе стороны на # (2 + х) # мы получаем:

# x ^ 2 + 2x = 2x + 5 #

Затем вычитая # 2x # с обеих сторон получаем:

# Х ^ 2 = 5 #

Итак, мы нашли:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (2 + sqrt (5)) #

# color (white) (sqrt (5)) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …)))))) #

Так как эта непрерывная дробь не заканчивается, мы можем сказать, что #sqrt (5) # не может быть представлена как завершающая дробь - то есть рациональное число. Так #sqrt (5) # иррациональное число немного меньше, чем #2 1/4 = 9/4#, Для лучшей рациональной аппроксимации вы можете прервать непрерывную дробь через несколько терминов

Например:

#sqrt (5) ~~ 2 + 1 / (4 + 1/4) = 2 + 4/17 = 38/17 ~~ 2.235 #

Распаковка этих непрерывных дробей может быть немного утомительной, поэтому я обычно предпочитаю использовать другой метод, а именно предельный коэффициент целочисленной последовательности, определенной рекурсивно.

Определите последовательность по:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 4a_ (n + 1) + a_n):} #

Первые несколько терминов:

#0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473#

Соотношение между терминами будет стремиться к # 2 + SQRT (5) #.

Итак, мы находим:

#sqrt (5) ~~ 5473/1292 - 2 = 2889/1292 ~~ 2.236068 #