Как вы докажете (tanx + sinx) / (2tanx) = cos ^ 2 (x / 2)?

Нам понадобятся эти две личности, чтобы завершить доказательство:

# Tanx = SiNx / cosx #

#cos (х / 2) = + - SQRT ((1 + cosx) / 2) #

Я начну с правой стороны, затем буду манипулировать ею до тех пор, пока она не будет выглядеть как левая:

# РИТ = соз ^ 2 (х / 2) #

#color (белый) (РИТ) = (соз (х / 2)) ^ 2 #

#color (белый) (РИТ) = (+ - SQRT ((1 + cosx) / 2)) ^ 2 #

#color (белый) (РИТ) = (1 + cosx) / 2 #

#color (белый) (РИТ) = (1 + cosx) / 2color (красный) (* SiNx / SiNx) #

#color (белый) (РИТ) = (SiNx + sinxcosx) / (2sinx) #

#color (белый) (РИТ) = (SiNx + sinxcosx) / (2sinx) цвет (красный) (* (1 / cosx) / (1 / cosx)) #

#color (белый) (РИТ) = (SiNx / cosx + (sinxcosx) / cosx) / # (2sinx / cosx)

#color (белый) (РИТ) = (Tanx + SiNx) / (2tanx) #

#color (белый) (РИТ) = LHS #

Это доказательство. Надеюсь, это помогло!

Мы стремимся доказать личность:

# (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) #

Рассмотрим LHS выражения и используем определение тангенса:

# LHS = (tanx + sinx) / (2tanx) #

# = (sinx / cosx + sinx) / (2 (sinx / cosx)) #

# = (cosx / sinx) ((sinx / cosx + sinx) / 2) #

# = (cosx / sinx * sinx / cosx + cosx / sinx * sinx) / 2 #

# = (1 + cosx) / 2 #

Теперь рассмотрим RHS и используйте идентификатор:

# cos2A - = 2cos ^ 2A - 1 #

Давать нам:

# cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) - 1 => 1 + cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) #

#:. cos ^ 2 (x / 2) = (1 + cosx) / 2 = RHS #

Таким образом:

# LHS = RHS => (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) # QED

# LHS = (Tanx + SiNx) / (2tanx) #

# = # (Отмена (Tanx) (1 + SiNx / Tanx)) / (2cancel (Tanx))

# = (1 + cosx) / 2 = (2cos ^ 2 (х / 2)) / 2 = соз ^ 2 (х / 2) = РИТ #