Каковы критерии делимости различных чисел?

Есть много тестов делимости. Вот некоторые из них, а также как они могут быть получены.

• Целое число делится на #2# если последняя цифра четная.

• Целое число делится на #3# если сумма его цифр делится на 3.

• Целое число делится на #4# если целое число, образованное двумя последними цифрами, делится на 4.

• Целое число делится на #5# если последняя цифра 5 или 0.

• Целое число делится на #6# если он делится на 2 и 3.

• Целое число делится на #7# если вычесть дважды последнюю цифру из целого числа, образованного удалением последней цифры, кратно 7.

• Целое число делится на #8# если целое число, образованное последними тремя цифрами, делится на 8 (это можно сделать проще, отметив, что правило такое же, как и для 4s, если цифра сотен четная, и наоборот)

• Целое число делится на #9# если сумма цифр делится на 9

• Целое число делится на #10# если последняя цифра #0#

Чтобы узнать об этом и многом другом, посмотрите на странице Википедии правила делимости.

Теперь можно задаться вопросом о том, как придумать эти правила или хотя бы показать, что они действительно будут работать. Одним из способов сделать это является математический тип, называемый модульной арифметикой.

В модульной арифметике мы выбираем целое число # П # как модуль а затем рассматривать каждое другое целое число как конгруэнтный по модулю # П # к остатку при делении на # П #, Простой способ думать об этом - это то, что вы можете сложить или вычесть # П # без изменения значения целого числа по модулю n. Это то же самое, что и на аналоговых часах добавление двенадцати часов за одно и то же время. Добавление часов на часы - это сложение по модулю #12#.

Что делает модульную арифметику очень полезной при определении правил делимости, так это то, что для любой целое число # A # и положительное целое число # Б #мы можем сказать, что # A # делится на # Б # если и только если

# a- = 0 "(mod b)" # (# A # соответствует #0# по модулю # Б #).

Давайте использовать это, чтобы понять, почему правило делимости для #3# работает. Мы сделаем это на примере, который должен показать общую концепцию. В этом примере мы увидим, почему #53412# делится на #3#, Помните, что сложение или вычитание #3# не изменит значение целого числа по модулю #3#.

#53412# делится на #3# если и только если # 53412 - = 0 "(мод 3)" #

Но также, потому что #10 -3 -3 -3 = 1#, у нас есть # 10 - = 1 "(мод 3)" #

Таким образом:

# 53412 - = 5 * 10 ^ 5 + 3 * 10 ^ 4 + 4 * 10 ^ 3 + 1 * 10 ^ 2 + 2 "(мод 3)" #

# - = 5 * 1 ^ 5 + 3 * 1 ^ 4 + 4 * 1 ^ 3 + 1 * 1 ^ 2 + 2 "(мод 3)" #

#color (red) (- = 5 + 3 + 4 + 1 + 2 "(mod 3)") #

# - = 3 * 5 "(мод 3)" #

# - = 0 * 5 "(мод 3)" #

# - = 0 "(мод 3)" #

таким образом #53412# делится на #3#, Шаг красного цвета демонстрирует, почему мы можем просто сложить цифры и проверить, вместо того, чтобы пытаться делить исходное число на #3#.