Равнобедренный треугольник имеет стороны A, B и C, причем стороны B и C равны по длине. Если сторона A переходит от (1, 4) к (5, 1) и площадь треугольника равна 15, каковы возможные координаты третьего угла треугольника?

Ответ:

Две вершины образуют основание длины 5, поэтому высота должна составлять 6, чтобы получить область 15. Стопа является средней точкой точек, и шесть единиц в любом перпендикулярном направлении дают # (33/5, 73/10)# или же #(- 3/5, - 23/10) #.

Объяснение:

Совет для профессионалов: старайтесь придерживаться соглашения о маленьких буквах для сторон треугольника и заглавных букв для вершин треугольника.

Нам дают две точки и площадь равнобедренного треугольника. Две точки составляют основу, # Б = SQRT {(5-1) ^ 2 + (1-4) ^ 2} = 5. #

Ступня # F # высоты является средней точкой двух точек, #F = ((1 + 5) / 2, (4 + 1) / 2) = (3, 5/2) #

Вектор направления между точками #(1-5, 4-1)=(-4,3)# с величиной 5, как только что рассчитано. Мы получаем вектор направления перпендикуляра, меняя точки и отрицая одну из них: #(3,4)# который также должен иметь величину пять.

Поскольку площадь # A = frac 1 2 b h = 15 # мы получаем # Ч = (2 * 15) /b=6.#

Итак, нам нужно двигаться #6# от # F # в любом перпендикулярном направлении, чтобы получить нашу третью вершину, которую я назвал # C #:

# C = F pm 6 frac {(3,4)} {5} = (3,5 / 2) pm 6/5 (3,4) #

# C = (33/5, 73/10) или C = (- 3/5, - 23/10) #

Проверьте: #(5,1)-(1,4)=(4,-3)#

# (- 3/5, - 23/10)-(1,4)=(-8/5,-63/10)#

Подписанная область - тогда половина перекрестного произведения

# A = frac 1 2 (4 (-63/10) - (-3) (- 8/5)) = -15 quad sqrt {} #

Это конец, но давайте немного обобщим ответ. Давайте забудем о том, что это равнобедренный. Если у нас есть C (x, y), площадь определяется формулой шнурка:

# A = frac 1 2 | (1) (1) - (4) (5) + 5y-x + 4x-y | = 1/2 | 3x + 4y - 19 | #

Площадь #15#:

# pm 15 = 1/2 (3x + 4y - 19) #

# 19 pm 30 = 3x + 4y #

# 49 = 3x + 4y # или же # -11 = 3x + 4y #

Поэтому, если вершина C находится на одной из этих двух параллельных линий, у нас будет треугольник с площадью 15.

Позволять # PR = A # быть стороной равнобедренного треугольника, имеющей координаты его конечных точек следующим образом

#Pto (1,4) # а также #Rto (5,1) #

Пусть координаты третьей точки треугольника # (Х, у) #.

Как # (Х, у) # равноудалено от P и R мы можем написать

# (Х-1) ^ 2 + (Y-4) ^ 2 = (х-5) ^ 2 + (у-1) ^ 2 #

# => Х ^ 2-2x + 1 + у ^ 2-8Y + 16 = х ^ 2-10x + 25 + у ^ 2-2y + 1 #

# => 8x-6Y = 9 #

# => Х = (9 + 6y) / 8 …… 1 #

Снова # (Х, у) # будучи равноудаленным от P и R, перпендикуляр выпал из # (Х, у) # в # PR # должен делить пополам, пусть эта нога перпендикулярной или средней точки # PR # быть # T #

Итак, координаты #Tto (3,2.5) #

Теперь высота равнобедренного треугольника

# Н = SQRT ((х-3) ^ 2 + (Y-2,5) ^ 2) #

И основание равнобедренного треугольника

# PR = А = SQRT ((1-5) ^ 2 + (4-1) ^ 2) = 5 #

Так что проблема его площадь

# 1 / 2xxAxxH = 15 #

# => Н = 30 / А = 30/5 = 6 #

#sqrt ((х-3) ^ 2 + (Y-2,5) ^ 2) = 6 #

# => (Х-3) ^ 2 + (Y-2,5) ^ 2 = 36 …. 2 #

По 2 и 1 получаем

# ((9 + 6y) / 8-3) ^ 2 + (у-2.5) ^ 2 = 36 #

# => 1/64 (6Y-15) ^ 2 + (у-2.5) ^ 2 = 36 #

# => (6Y-15) ^ 2 + 64 (у-2.5) ^ 2 = 36xx64 #

# => 36y ^ 2-180y + 225 + 64y ^ 2-320y + 400 = 48 ^ 2 #

# => 100y ^ 2-500y + 625 = 48 ^ 2 #

# => У ^ 2-5y + 6,25 = 4,8 ^ 2 #

# => (У-2.5) ^ 2 = 4,8 ^ 2 #

# => У = 2.5pm4.8 #

Так # у = 7,3 и у = -2,3 #

когда # У = 7,3 #

# Х = (9 + 6xx7.3) /8=6.6#

когда # У = -2,3 #

# Х = (9 + 6xx (-2,3)) / 8 = -0,6 #

Так что координаты третьей точки будут

# (6.6,7.3) в "Q на рисунке" #

ИЛИ ЖЕ

# (- 0,6, -2,3) до "S на рисунке" #