Что из следующего имеет максимальное количество реальных корней?

Ответ:

# x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 # с #4# настоящие корни.

Объяснение:

Обратите внимание, что корни:

# ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 #

являются подмножеством объединения корней двух уравнений:

# {(ax ^ 2 + bx + c = 0), (ax ^ 2-bx + c = 0):} #

Обратите внимание, что если одно из этих двух уравнений имеет пару действительных корней, то и другое, так как они имеют одинаковый дискриминант:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-b) ^ 2-4ac #

Далее обратите внимание, что если #a, b, c # все имеют одинаковый знак тогда # топор ^ 2 + b abs (x) + c # всегда будет принимать значения этого знака, когда #Икс# реально. Так что в наших примерах, так как # А = 1 #Сразу отметим, что:

# x ^ 2 + 3 abs (x) +2> = 2 #

поэтому не имеет нулей.

Давайте посмотрим на остальные три уравнения по очереди:

1) # x ^ 2-abs (x) -2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-x-2 = (x-2) (x + 1) => x в {-1, 2}), (0 = x ^ 2 + x-2 = (x +2) (x-1) => x в {-2, 1}):} #

Испытывая каждый из них, мы находим решения #x в {-2, 2} #

3) # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) => x в {1, 2}), (0 = x ^ 2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2) => x в {-1, -2}):} #

Пробуя каждый из них, мы находим все решения исходного уравнения, т.е. #x в {-2, -1, 1, 2} #

Альтернативный метод

Обратите внимание, что настоящие корни # ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 # (где #c! = 0 #Позитивные настоящие корни # топор ^ 2 + bx + c = 0 #.

Таким образом, найти, какое из данных уравнений имеет наиболее реальные корни, равносильно нахождению того, какое из соответствующих обыкновенных квадратных уравнений имеет наиболее положительные вещественные корни.

У квадратного уравнения с двумя положительными действительными корнями есть знаки в образце #+ - +# или же #- + -#, В нашем примере первый признак всегда положительный.

Из приведенных примеров только второй и третий имеют коэффициенты в шаблоне #+ - +#.

Мы можем сбрасывать со счетов второе уравнение # x ^ 2-2 abs (x) + 3 = 0 # поскольку его дискриминант отрицателен, но для третьего уравнения мы находим:

# 0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) #

имеет два положительных реальных корня, уступая #4# корни уравнения # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #