Как вам доказать (1 - грех х) / (1 + грех х) = (сек х + загар х) ^ 2?

Ответ:

Используйте несколько триггеров и упростите. Увидеть ниже.

Объяснение:

Я считаю, что в этом вопросе есть ошибка, но это не имеет большого значения. Чтобы это имело смысл, вопрос должен гласить:

# (1-sinx) / (1 + sinx) = (secx - tanx) ^ 2 #

В любом случае, мы начнем с этого выражения:

# (1-SiNx) / (1 + SiNx) #

(При доказательстве идентичности триггеров, как правило, лучше работать на стороне, которая имеет дробь).

Давайте используем аккуратный трюк под названием сопряженное умножение, где мы умножаем дробь на знаменатель сопряженный:

# (1-SiNx) / (1 + SiNx) * (1-SiNx) / (1-SiNx) #

# = ((1-SiNx) (1-SiNx)) / ((1 + SiNx) (1-SiNx)) #

# = (1-SiNx) ^ 2 / ((1 + SiNx) (1-SiNx)) #

Конъюгат # A + B # является # A-B #поэтому сопряженное # 1 + SiNx # является # 1-SiNx #; мы умножаем на # (1-SiNx) / (1-SiNx) # сбалансировать фракцию.

Обратите внимание, что # (1 + SiNx) (1-SiNx) # это на самом деле разница квадратов, которая имеет свойство:

# (А-б) (а + б) = а ^ 2-B ^ 2 #

Здесь мы видим, что # А = 1 # а также # Б = SiNx #, так:

# (1 + SiNx) (1-SiN х) = (1) ^ 2- (SiNx) ^ 2 = 1-син ^ 2x #

Из пифагорейской идентичности # Грешить ^ 2x + соз ^ 2x = 1 #следует, что (после вычитания # Грешить ^ 2x # с обеих сторон), # Соз ^ 2x = 1-син ^ 2x #.

Вау, мы пошли из # (1-SiNx) / (1-SiNx) # в # 1-син ^ 2x # в # соз ^ 2x #! Теперь наша проблема выглядит так:

# (1-SiN х) ^ 2 / соз ^ 2x = (secx-Tanx) ^ 2 #

Давайте расширим числитель:

# (1-2sinx + грех ^ 2x) / соз ^ 2x = (secx-Tanx) ^ 2 #

(Помните: # (А-б) ^ 2 = а ^ 2-2ab + Ь ^ 2 #)

Теперь мы разделим дроби:

# 1 / соз ^ 2x- (2sinx) / соз ^ 2x + грешить ^ 2x / соз ^ 2x #

# = Сек ^ 2x-2 * SiN х / cosx * 1 / cosx + грешат ^ 2x / соз ^ 2x #

# = Сек ^ 2x-2tanxsecx + загар ^ 2x #

Как упростить тот ? Хорошо, вспомни, когда я сказал: «Помни: # (А-б) ^ 2 = а ^ 2-2ab + Ь ^ 2 #'?

Оказывается, что # Сек ^ 2x-2tanxsecx + загар ^ 2x # на самом деле # (Secx-Tanx) ^ 2 #, Если мы позволим # А = secx # а также # Б = Tanx #мы можем видеть, что это выражение:

#underbrace ((а) ^ 2) _secx-2 (а) (б) + underbrace ((б) ^ 2) _tanx #

Который, как я только что сказал, эквивалентен # (А-б) ^ 2 #, замещать # A # с # Secx # а также # Б # с # Tanx # и вы получите:

# Сек ^ 2x-2tanxsecx + загар ^ 2x = (secx-Tanx) ^ 2 #

И мы завершили проод:

# (Secx-Tanx) ^ 2 = (secx-Tanx) ^ 2 #