Математически выведите корни цвета (белый) ("d") y = x ^ 3-3x-1 = 0?

Ответ:

#x = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # за #n = 0, 1, 2 #

Объяснение:

Дано:

# x ^ 3-3x-1 = 0 #

Тригонометрическая замена

Так как этот кубик #3# В случае реальных нулей метод Кардано приведет к выражениям, содержащим неприводимые кубические корни комплексных чисел. Метод Кардано не ошибочен, но он не очень дружелюбен, если только корни куба не имеют простой формы.

В качестве альтернативы в таких случаях я бы выбрал тригонометрическую замену.

Позволять:

#x = k cos theta #

Хитрость заключается в выборе # К # так, что результирующее выражение содержит # 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = cos 3 theta #.

У нас есть:

# 0 = x ^ 3-3x-1 #

# color (white) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 тета - 3k cos тета - 1 #

# color (white) (0) = k (k ^ 2 cos ^ 3 тета - 3 cos тета) - 1 #

#color (white) (0) = 2 (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 "" # с # К = 2 #

# color (white) (0) = 2cos 3theta - 1 #

Так:

#cos 3 theta = 1/2 #

Так:

# 3 theta = + -pi / 3 + 2npi "" # для любого целого числа # П #

Так:

#theta = + -pi / 9 + (2npi) / 3 "" # для любого целого числа # П #

Это даст #3# различные возможные значения #x = k cos theta #…

#x = 2 cos theta = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # за #n = 0, 1, 2 #.