Пожалуйста, объясните, это линейное преобразование или нет?

Ответ:

Увидеть ниже

Объяснение:

Трансформация #T: V to W # называется линейным, если имеет следующие два свойства:

• #T (v_1 + v_2) = Т (v_1) + T (v_2) # для каждого # v_1, v_2 in V #
• #T (резюме) = кТ (v) # для каждого #v в V # и каждый скаляр # C #

Обратите внимание, что второе свойство предполагает, что # V # вложен с двумя операциями суммирования и скалярного умножения. В нашем случае сумма - это сумма между многочленами, а умножение - это умножение на действительные числа (я полагаю).

Когда вы выводите многочлен, вы понижаете его степень на #1#, так что если вы выводите полином степени #4# дважды вы получите многочлен степени #2#, Обратите внимание, что когда мы говорим о множестве всех полиномов четырех степеней, мы на самом деле имеем в виду множество всех полиномов степеней в большинстве четыре. На самом деле, общий многочлен четвертой степени

# A_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

Если вы хотите многочлен второй степени # 3 + 6x-5x ^ 2 #Например, вы просто выбираете

# a_0 = 3, a_1 = 6, a_2 = -5, a_3 = a_4 = 0 #

С учетом сказанного, давайте отождествим полиномиальное пространство степени # П # с # P_n #и определить наш оператор #T: P_4 to P_2 # такой, что #T (f (x)) = f '' (x) #

Давайте докажем первое свойство: предположим, у нас есть многочлены

# p_1 = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

а также

# p_2 = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4 #

Это означает, что # P_1 + p_2 # равняется

# (A_0 + B_0) + (a_1 + b_1) х + (a_2 + b_2) х ^ 2 + (a_3 + B_3) х ^ 3 + (A_4 + B_4) х ^ 4 #

#T (p_1 + p_2) # является второй производной этого полинома, так что это

# 2 (a_2 + b_2) +6 (a_3 + B_3) х + 12 (A_4 + B_4) х ^ 2 #

(Я дважды применил степенное правило для деривации: вторая производная # Х ^ п # является #n (п-1) х ^ {п-2} #)

Теперь давайте посчитаем #T (p_1) #то есть вторая производная от # P_1 #:

# 2a_2 + 6a_3x + 12a_4x ^ 2 #

Так же, #T (p_2) #то есть вторая производная от # P_2 #, является

# 2b_2 + 6b_3x + 12b_4x ^ 2 #

Если вы суммируете эти выражения, вы можете увидеть, что мы имеем

#T (p_1 + p_2) = Т (p_1) + T (p_2) #

Второе свойство показано аналогичным образом: дан полином

#p = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

у нас есть, для любого действительного числа # C #,

#cp = ca_0 + ca_1x + ca_2x ^ 2 + ca_3x ^ 3 + ca_4x ^ 4 #

его вторая производная, таким образом, # 2ca_2 + 6ca_3x + 12ca_4x ^ 2 #

что опять же, как компьютер #T (р) #, а затем умножить все на # C #т.е. #T (ф) = кТ (р) #