Пусть 5a + 12b и 12a + 5b - длина сторон прямоугольного треугольника, а 13a + kb - гипотенуза, где a, b и k - положительные целые числа. Как найти наименьшее возможное значение k и наименьшие значения a и b для этого k?

Ответ:

#k = 10 #, # А = 69 #, # Б = 20 #

Объяснение:

По теореме Пифагора имеем:

# (13a + kb) ^ 2 = (5a + 12b) ^ 2 + (12a + 5b) ^ 2 #

То есть:

# 169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^ 2 #

# color (white) (169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2) = 169a ^ 2 + 240ab + 169b ^ 2 #

Вычтите левую сторону с обоих концов, чтобы найти:

# 0 = (240-26k) ab + (169-k ^ 2) b ^ 2 #

# color (white) (0) = b ((240-26k) a + (169-k ^ 2) b) #

поскольку #b> 0 # мы требуем:

# (240-26k) a + (169-k ^ 2) b = 0 #

Тогда с #a, b> 0 # мы требуем # (240-26k) # а также # (169-к ^ 2) # иметь противоположные признаки.

когда #k в 1, 9 # и то и другое # 240-26k # а также # 169-к ^ 2 # положительны.

когда #k в 10, 12 # мы нашли # 240-26k <0 # а также # 169-k ^ 2> 0 # как требуется.

Таким образом, минимально возможное значение # К # является #10#.

Затем:

# -20a + 69b = 0 #

Тогда с #20# а также #69# не имеют общего фактора больше #1#минимальные значения # A # а также # Б # являются #69# а также #20# соответственно.