Покажите, что int_0 ^ 1sinx / sqrt (x ^ 2 + 1) dx

Ответ:

Смотрите объяснение

Объяснение:

Мы хотим показать

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Это довольно «некрасивый» интеграл, поэтому наш подход заключается не в том, чтобы решить этот интеграл, а в его сравнении с «более хорошим» интегралом

Мы теперь, что для всех положительных вещественных чисел #color (красный) (син (х) <= х) #

Таким образом, значение подынтегральной функции также будет больше для всех положительных действительных чисел, если мы подставим # Х = Sin (х) #так что, если мы можем показать

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Тогда наше первое утверждение также должно быть верным

Новый интеграл - это простая задача замещения

# Int_0 ^ 1x / SQRT (х ^ 2 + 1) = SQRT (х ^ 2 + 1) _ 0 ^ 1 = SQRT (2) -1 #

Последний шаг должен заметить, что #sin (х) = х => х = 0 #

Поэтому мы можем сделать вывод

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #