Круг А имеет центр в (6, 5) и область 6 пи. Круг B имеет центр в (12, 7) и область 48 пи. Круги перекрываются?

Ответ:

поскольку

# (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 квад а также

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

мы можем сделать настоящий треугольник с квадратами сторон 48, 6 и 40, чтобы эти круги пересекались.

Объяснение:

Почему безвозмездный #число Пи#?

Площадь #A = pi r ^ 2 # так # Г ^ 2 = А / р. # Таким образом, первый круг имеет радиус # R_1 = SQRT {6} # а второй # r_2 = sqrt {48} = 4 sqrt {3} #.

Центры #sqrt {(12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10} # Кроме.

Таким образом, круги перекрываются, если #sqrt {6} + 4 sqrt {3} ge 2 sqrt {10} #.

Это так безобразно, что вы простите, что нашли калькулятор. Но это действительно не обязательно. Давайте посмотрим, как это делается с помощью рациональной тригонометрии. Там нас интересуют только квадраты длины, называемые quadrances.

Допустим, мы хотим проверить, если три квадранта # А, В, С # являются квадрантами между тремя коллинеарными точками, т.е. #sqrt {A} = SQRT {B} + SQRT {C} # или же #sqrt {B} = SQRT {A} + SQRT {C}, # или же #sqrt {C} = SQRT {A} + SQRT {B} #, Мы напишем это как

# pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B} #

ФОРМАТНО, #C = A + B pm 2 sqrt {AB} #

#C - A-B = pm 2 sqrt {AB} #

Квадрат снова, # (C-A-B) ^ 2 = 4AB #

# 0 = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

Оказывается

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

это дискриминантный для треугольников. Мы только что показали, если #mathcal {A} = 0 # это означает, что у нас есть вырожденный треугольник, сформирован из трех коллинеарных точек. Если #mathcal {A}> 0 # тогда у нас есть настоящий треугольник, каждая сторона меньше суммы двух других. Если #mathcal {А} <0 # у нас нет сторон, удовлетворяющих неравенству треугольника, и мы иногда называем это воображаемый треугольник.

Давайте вернемся к нашему вопросу, вооруженному нашим новым треугольным дискриминантом #mathcal {А} #, Если окружности пересекаются, мы можем сделать треугольник из двух центров и пересечения, поэтому стороны будут иметь длину # R_1 #, # R_2 #и расстояние между центрами #(6,5)# а также #(12,7)#, У нас есть

# A = r_1 ^ 2 = 6 #

#B = r_2 ^ 2 = 48 #

# C = (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 #

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 = 4 (6) (48) - (40 - 6 - 48) ^ 2 = 956 #

#mathcal {A}> 0 # таким образом, у нас есть настоящий треугольник, то есть перекрывающиеся круги.

Ах да, для любого треугольника #mathcal {A} = 16 (текст {область}) ^ 2. #

Проверить: Альфа