Круг А имеет центр в (3, 5) и площадь 78 пи. Круг B имеет центр в (1, 2) и площадь 54 пи. Круги перекрываются?

Ответ:

да

Объяснение:

Во-первых, нам нужно расстояние между двумя центрами, которое # D = SQRT ((DeltaX) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) #

# D = SQRT ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = SQRT (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = SQRT (9 + 4) = SQRT (13) = 3,61 #

Теперь нам нужна сумма радиусов, так как:

#D> (r_1 + r_2); "Круги не перекрываются" #

# D = (r_1 + r_2); "Круги просто касаются" #

#D <(r_1 + r_2); "Круги перекрываются" #

# Pir_1 "" ^ 2 = 78pi #

# R_1 "" ^ 2 = 78 #

# R_1 = sqrt78 #

# Pir_2 "" ^ 2 = 54pi #

# R_2 "" ^ 2 = 54 #

# R_2 = sqrt54 #

# Sqrt78 + sqrt54 = 16,2 #

#16.2>3.61#поэтому круги перекрываются.

Доказательство:

graph {((x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2-54) ((x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2-78) = 0 -20,33, 19,67, -7,36, 12.64}

Ответ:

Эти перекрываются, если #sqrt {78} + sqrt {54} ge sqrt {(3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2} = sqrt {13}. #

Мы можем пропустить калькулятор и проверить # 4 (13) (54) ge (78-13-54) ^ 2 # или же #4(13)(54) > 11^2# что это, безусловно, так что да, перекрываются.

Объяснение:

Площадь круга конечно #pi r ^ 2 # поэтому мы разделяем безвозмездное #число Пи#s.

У нас квадраты радиусов

# r_1 ^ 2 = 78 #

# R_2 ^ 2 = 54 #

и квадрат расстояния между центрами

# Д ^ 2 = (3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2 = 13 #

В основном мы хотим знать, если # r_1 + r_2 ge d #т.е. если мы можем сделать треугольник из двух радиусов и отрезка между центрами.

Длина в квадрате - все хорошие целые числа, и довольно безумно, что мы все инстинктивно дотягиваемся до калькулятора или компьютера и начинаем брать квадратные корни.

Нам не нужно, но это требует небольшого объезда. Давайте использовать формулу Герона, назовите область # Q #.

# Q = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # где # s = (a + b + c) / 2 #

# Q ^ 2 = ((a + b + c) / 2) (((a + b + c) / 2) -a) (((a + b + c) / 2) -b) (((a + b + c) / 2) -c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (a + b + c-2a) (a + b + c-2b) (a + b + c-2c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Это уже лучше, чем цапля. Но мы продолжаем. Я пропущу немного скуки.

# 16Q ^ 2 = 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2 - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Это красиво симметрично, как и следовало ожидать для формулы площади. Давайте сделаем его менее симметричным. Отзыв

# (c ^ 2 - a ^ 2- b ^ 2) ^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-2b ^ 2c ^ 2-2a ^ 2c ^ 2 #

Добавление, # 16Q ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

Это формула для квадрата площади треугольника с учетом длины сторон в квадрате. Когда последние рациональны, то и первый.

Давайте попробуем это. Мы свободны назначать стороны, как нам нравится; для расчета руки лучше всего сделать # C # самая большая сторона, # c ^ 2 = 78 #

# А ^ 2 = 54 #

# Б ^ 2 = 13 #

# 16Q ^ 2 = 4 (54) (13) - (78-54-13) ^ 2 = 4 (54) 13 - 11 ^ 2 #

Еще до того, как рассчитать это, мы видим, что у нас есть положительный # 16q ^ 2 # такой настоящий треугольник с положительной областью, поэтому перекрывающиеся круги.

# 16Q ^ 2 = 2687 #

Если бы мы получили отрицательное значение, воображаемую область, это не настоящий треугольник, а непересекающиеся круги.