Как вы находите sin (x / 2), cos (x / 2) и tan (x / 2) из заданного Cot (x) = 13?

Ответ:

На самом деле есть четыре значения для # Х / 2 # на единичном круге, поэтому четыре значения для каждой функции триггера. Основное значение половинного угла составляет около # 2,2 ^ УРОВ. #

#cos (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

#tan (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = загар 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

Пожалуйста, смотрите объяснение для других.

Объяснение:

Давайте сначала немного поговорим об ответе. На круге единицы есть два угла, котангенс которых #13#, Один вокруг # 4,4 ^ CIRC #и еще один плюс # 180 ^ # КОНТУР, назови это # 184,4 ^ CIRC #, Каждый из них имеет две половины угла, опять же разделенных # 180 ^ УРОВ. # Первый имеет половину углов # 2,2 ^ CIRC # а также # 182,2 ^ CIRC #вторая имеет половину углов # 92,2 ^ CIRC # а также # 272,2 ^ CIRC #Таким образом, на самом деле речь идет о четырех половинных углах с разными, но связанными значениями для их функций триггера.

Мы будем использовать вышеуказанные углы в качестве приближенных значений, поэтому у нас есть названия для них.

Углы с котангенсом 13:

#text {Arc} text {cot} 13 приблизительно 4.4 ^ circ #

# 180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13 приблизительно 184.4 ^ circ #

Половина углов:

# 1/2 text {Arc} text {cot} 13 приблизительно 2.2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ circ + text {arc} text {cot} 13) приблизительно 182,2 ^ circ #

# 1/2 (180 ^ circ + text {arc} text {cot} 13) приблизительно 92,2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ круг + 180 ^ круг + текст {дуга} текст {кроватка} 13) около 272,2 ^ круг #

Хорошо, формулы двойного угла для косинуса:

#cos (2a) = 2 cos ^ 2 a - 1 = 1 - sin ^ 2 a #

поэтому соответствующие формулы половинного угла

#sin a = pm sqrt {1/2 (1-cos (2a))} #

#cos a = pm sqrt {1/2 (1 + cos (2a))} #

Это все предварительно. Давайте сделаем проблему.

Сначала мы сделаем маленький угол, # 2,2 ^ УРОВ. # Мы видим, что остальные из них просто кратны # 90 ^ # КОНТУР выше этого, так что мы можем получить их триггерные функции из этого первого угла.

Котангенс 13 - это склон #1/13# так соответствует прямоугольному треугольнику с противоположным #1#рядом #13# и гипотенуза #sqrt {13 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {170}. #

#cos (text {Arc} text {cot} 13) = cos 4.4 ^ circ = {13} / sqrt {170} #

#sin (text {Arc} text {cot} 13) = sin 4.4 ^ circ = {1} / sqrt {170} #

Теперь мы применяем формулы половинного угла. Для нашего маленького угла в первом квадранте мы выбираем положительные признаки.

#cos (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 + {13} / SQRT {170})} #

Мы могли бы попытаться упростить и вывести дроби за пределы радикала, но я просто оставлю это здесь.

#sin (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 - {13} / SQRT {170})} #

Коэффициент тангенса половинный является частным из них, но его проще использовать

# tan (theta / 2) = {sin theta} / {1 + cos theta} #

#tan (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = загар 2.2 ^ circ = {1 / sqrt {170}} / {1 + {13} / sqrt {170}} = sqrt (170) - 13 #

Хорошо, это все сложная часть, но давайте не будем забывать и другие углы.

# cos 182.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin 182.2 ^ circ = -sin 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

# tan 182.2 ^ circ = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

Теперь у нас есть оставшиеся углы, которые меняют синус и косинус, переворачивая знаки. Мы не будем повторять формы, за исключением касательной.

# cos 92.2 ^ circ = - sin 2.2 ^ circ #

# грех 92,2 ^ Cir = COS 2,2 ^ Cir #

# tan 92.2 ^ circ = -1 / {tan 2.2 ^ circ} = -13 - sqrt (170) #

# cos 272.2 ^ circ = sin 2.2 ^ circ #

#sin 272.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ #

# tan 272.2 ^ circ = tan 92.2 ^ circ = -13 - sqrt (170) #

Уф.

Ответ:

#color (индиго) (tan (x / 2) = 0.0384, sin (x / 2) = + -0.0384, cos (x / 2) = + - 1 #

#color (малиновый) (tan (x / 2) = -26.0384, sin (x / 2) = + - 0.9993, cos (x / 2) = + - 0.0384 #

Объяснение:

# tan (2x) = (2 tan x) / (1 - tan ^ 2x) #

#sin 2x = (2 загар x) / (1 + загар ^ 2 x) #

+ cos 2x = (1-2tan ^ 2 x) / (1 + tan ^ 2 x) #

#cot x = 1 / tan x = 13 #

#tan x = 1/13 #

#tan x = 1/13 = (2 tan (x / 2)) / (1 - tan ^ 2 (x / 2) #

# 1 - загар ^ 2 (х / 2) = 26 загар (х / 2) #

# tan * 2 (x / 2) + 26 tan (x / 2) - 1 = 0 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (26 ^ 2 + 4)) / 2 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (680)) / 2 #

#tan (x / 2) = 0.0384, -26.0384 #

# csc ^ 2x = 1 + кроватка ^ 2 x #

#:. csc ^ 2 (x / 2) = 1 + кроватка ^ 2 (x / 2) #

Но мы знаем #cot (x / 2) = 1 / tan (x / 2) #

когда #tan (x / 2) = 0.0384 #, # csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / 0.0384) ^ 2 = 679.1684 #

#csc (x / 2) = sqrt (679.1684) = + -26.0609 #

#sin (x / 2) = + - (1 / 26.0609) = + -0.0384 #

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + - 0.0384 / 0.0384 = + - 1 #

когда #tan (x / 2) = -26.0384 #, #csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / (-26.0384) ^ 2) = 1.0015 #

#sin (x / 2) = 1 / sqrt (1.0015) = + -0,9993 #

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + -0.9993 / -26.0384 = + -0.0384 #