Докажите, что число sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) не рационально для любого натурального числа n больше 1?

Ответ:

Смотрите объяснение …

Объяснение:

Предположим, что:

#sqrt (1 + SQRT (2 + … + SQRT (п))) # рационально

Тогда его квадрат должен быть рациональным, т.е.

# 1 + SQRT (2 + … + SQRT (п)) #

и отсюда так:

#sqrt (2 + SQRT (3 + … SQRT (п))) #

Мы можем многократно возводить в квадрат и вычитать, чтобы найти, что следующее должно быть рациональным:

# {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), (sqrt (n)):} #

следовательно # П = к ^ 2 # для некоторого положительного целого числа #k> 1 # а также:

#sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

Обратите внимание, что:

# k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 #

следовательно # К ^ 2 + к-1 # также не является квадратом целого числа и #sqrt (к ^ 2 + к-1) # иррационально, противоречит нашему утверждению, что #sqrt (п-1 + SQRT (п)) # рационально.

Ответ:

Увидеть ниже.

Объяснение:

Если предположить, #sqrt (1 + SQRT (2 + cdots + SQRT (п))) = р / д # с # Р / д # не сводим мы имеем

#sqrtn = (cdots (((p / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdots - (n-1)) = P / Q #

что абсурдно, потому что согласно этому результату любой квадратный корень из положительного целого числа является рациональным.