Ответ:
Домен: вся настоящая линия
Спектр: #-0.0757,0.826#
Объяснение:
Этот вопрос можно интерпретировать одним из двух способов. Либо мы ожидаем иметь дело только с реальной линией # RR #или также с остальной частью сложной плоскости # CC #, Использование #Икс# поскольку переменная подразумевает, что мы имеем дело только с реальной линией, но есть интересная разница между двумя случаями, которые я отмечу.
Домен # Е # считается целым числовым набором минус любые точки, из-за которых функция взрывается до бесконечности. Это происходит, когда знаменатель # Х ^ 2 + 4 = 0 #то есть когда # Х ^ 2 = -4 #, Это уравнение не имеет реальных решений, поэтому, если мы работаем над реальной линией, доменом является весь интервал # (- оо, + оо) #, Если мы рассмотрим бесконечные пределы функции, сравнивая главные члены в числителе и знаменателе, мы увидим, что на обеих бесконечностях она стремится к нулю, и поэтому мы можем, если захотим, добавить их в этот интервал, чтобы закрыть его: # - оо, + оо #.
Уравнение # Х ^ 2 = -4 # однако имеет два сложных решения, #x = + - 2i #, Если мы рассмотрим всю комплексную плоскость, то областью является вся плоскость минус эти две точки: # CC # # {+ - 2i} #, Как и в случае с реалами, мы можем добавить бесконечность, если захотим.
Определить ассортимент # Е # нам нужно определить его максимальные и минимальные значения в пределах его области. Сейчас мы будем говорить только с точки зрения действительных значений, поскольку определение их аналога на комплексной плоскости, как правило, представляет собой проблему другого рода, требующую использования различных математических инструментов.
Возьмите первую производную через правило отношения:
#f '(х) = ((х ^ 2 + 4) -2x (х + 3)) / (х ^ 2 + 4) ^ 2 = (- х ^ 2-6x + 4) / (х ^ 2 + 4) ^ 2 #
Функция # Е # достигает либо экстремума или точки перегиба, когда #f '(х) = 0 #то есть когда # -X ^ 2-6x + 4 = 0 #.
Мы решаем это по квадратной формуле:
# Х = -1 / 2 (6 + -sqrt (52)) = - 3 + -sqrt (13) #, Таким образом, функция имеет две такие точки.
Мы характеризуем эти точки путем изучения их значений на второй производной # Е #, который мы берем, снова через фактор-правило:
#f '' (х) = ((- 2x-6) (х ^ 2 + 4) ^ 2 - (- х ^ 2-6x + 4) * 4x (х ^ 2 + 4)) / (х ^ 2 +4) ^ 4 #
# = (- 2 (х + 3) (х ^ 2 + 4) + 4x (х ^ 2 + 6x-4)) / (х ^ 2 + 4) ^ 3 #
Из нашего вычисления корня первой производной мы знаем, что второе слагаемое в числителе для этих двух точек равно нулю, так как установка его в ноль - это уравнение, которое мы только что решили найти входные числа.
Итак, отмечая, что # (- 3 + -sqrt (13)) ^ 2 = 22bar (+) 6sqrt (13) #:
#f '' (- 3 + -sqrt (13)) = (- 2 (-3 + -sqrt (13) +3) (22bar (+) 6sqrt (13) + 4)) / (22bar (+) 6sqrt (13) + 4) ^ 3 #
# = (Бар (+) 2sqrt (13) (26bar (+) 6sqrt (13))) / (26bar (+) 6sqrt (13)) ^ 3 #
При определении знака этого выражения мы спрашиваем, # 26> 6sqrt (13) #, Квадрат с обеих сторон для сравнения: #26^2=676#, # (6sqrt (13)) ^ 2 = 36 * 13 = 468 #, Так # 26-6sqrt (13) # положительно (и # 26 + 6sqrt (13) # даже более того).
Таким образом, знак всего выражения сводится к #bar (+) # перед ним, что означает, что # Х = -3-SQRT (13) # имеет #f '' (х)> 0 # (и, следовательно, является минимумом функций) и # Х = -3 + SQRT (13) # имеет #f '' (х) <0 # (и, следовательно, является максимумом функции). Отметив, что функция стремится к нулю на бесконечности, теперь мы полностью понимаем форму функции.
Так что теперь, чтобы получить диапазон, мы должны вычислить значения функции в минимальной и максимальной точках # Х = -3 + -sqrt (13) #
Напомним, что #f (х) = (х + 3) / (х ^ 2 + 4) #, так что
#f (-3 + -sqrt (13)) = (- 3 + -sqrt (13) +3) / (22bar (+) 6sqrt (13) + 4) = (+ - SQRT (13)) / (26bar (+) 6sqrt (13)) #.
Итак, по реальной линии # RR # функция #f (х) # принимает значения в диапазоне # - SQRT (13) / (26 + 6sqrt (13)), SQRT (13) / (26-6sqrt (13)) #который, если мы оценим численно, приходит к #-0.0757,0.826#до трех значащих цифр, полученных в #Икс# ценности #-6.61# а также #0.606# (3 с.ф.)
Постройте график функции как проверку работоспособности:
график {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -15, 4.816, -0.2, 1}
Ответ:
Домен: #x в RR #
Спектр: #f (x) в -0.075693909, + 0.825693909 цвет (белый) ("xxx") # (примерно)
Объяснение:
Дано
#color (белый) ("XXX") Р (х) = (х + 3) / (х ^ 2 + 4) #
Домен
домен все значения #Икс# для которого #f (х) # определено.
Для любой функции, выраженной в виде полинома, разделенного полиномом, функция определяется для всех значений #Икс# где полином делителя не равен нулю. поскольку # Х ^ 2> = 0 # для всех значений #Икс#, # Х ^ 2 + 4> 0 # для всех значений #Икс#; то есть #X! = 0 # для всех значений #Икс#; функция определена для всех вещественных (# RR #) значения #Икс#.
Спектр
спектр немного интереснее в разработке.
Отметим, что если непрерывная функция имеет пределы, производная функции в точках, приводящих к этим пределам, равна нулю.
Хотя некоторые из этих шагов могут быть тривиальными, мы проработаем этот процесс на основе довольно базовых принципов для производных.
1 Правило экспоненты для производных
Если #f (х) = х ^ п # затем # (d f (x)) / (dx) = nx ^ (n-1) #
2 Правило сумм для производных
Если #f (х) = г (х) + с (х) # затем # (d f (x)) / (dx) = (d r (x)) / (dx) + (d s (x)) / (dx) #
3 Правило продукта для производных
Если #f (x) = g (x) * h (x) # затем # (d f (x)) / (dx) = (d g (x)) / (dx) * h (x) + g (x) * (d h (x)) / (dx) #
4 Цепное правило для производных
Если #f (х) = р (д (х)) # затем # (d f (x)) / (dx) = (d p (q (x))) / (d q (x)) * (d q (x)) / (dx) #
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Для данной функции #f (х) = (х + 3) / (х ^ 2 + 4) #
отметим, что это можно записать как #f (x) = (x + 3) * (x ^ 2 + 4) ^ (- 1) #
По 3 мы знаем
#color (белый) ("XXX") цвет (красный) ((df (x)) / (dx)) = цвет (салатовый) ((d (x + 3)) / (dx)) * цвет (синий) ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1)) + цвет (синий) ((x + 3)) * цвет (пурпурный) ((d ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1))) / (ах)) #
По 1 имеем
# color (white) ("XXX") (d (x + 3)) / (dx) = (dx) / (dx) + (d (3 * x ^ 0)) / (dx) #
и 2
#color (белый) ("XXX") цвет (известь) ((д (х + 3)) / (ах)) = 1 + 0 = цвет (известь) (1) #
К 4 имеем
#color (white) ("XXX") color (magenta) ((d (x + 4) ^ (- 1)) / (dx)) = (d (x + 4) ^ (- 1)) / (d (х + 4)) * (д (х + 4)) / (дх) #
и 1 и 2
#color (white) ("XXXXXXXX") = - 1 (x ^ 2 + 4) ^ (- 2) * 2x #
или, упрощенно:
#color (белый) ("XXXXXXXX") = цвет (пурпурный) (- (2x) / ((х ^ 2 + 4) ^ 2)) #
давая нам
#color (белый) ("XXX") цвет (красный) ((df (x)) / (dx)) = цвет (зеленый) 1 * цвет (синий) ((x + 4) ^ (- 1)) + цвет (синий) ((x + 3)) * цвет (пурпурный) ((- 2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) #
который может быть упрощен как
#color (white) ("XXX") color (red) ((d f (x)) / (dx) = (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #
Как отмечено (обратный путь), это означает, что предельные значения будут иметь место, когда
#color (белый) ("XXX") (- х ^ 2-6x + 4) / ((х ^ 2 + 4) ^ 2) = 0 #
#color (white) ("XXX") rArr -x ^ 2-6x + 4 = 0 #
затем используя квадратную формулу (посмотрите, Сократик уже жалуется на длину этого ответа)
когда
#color (белый) ("XXX") х = -3 + -sqrt (13) #
Вместо того, чтобы продлевать агонию, мы просто вставим эти значения в наш калькулятор (или электронную таблицу, как я это делаю), чтобы получить ограничения:
#color (белый) ("XXX") F (-3-SQRT (13)) ~~ -0,075693909 #
а также
#color (белый) ("XXX") F (-3 + SQRT (13)) ~~ 0,825693909 #
Ответ:
Более простой способ найти диапазон. Домен #x в RR #, Диапазон #y в -0.076, 0.826 #
Объяснение:
Домен #x в RR # как
#AA x в RR #знаменатель # Х ^ 2 + 4> 0 #
Позволять # У = (х + 3) / (х ^ 2 + 4) #
Крест умножить
#=>#, #Y (х ^ 2 + 4) = х + 3 #
# Ух ^ 2-х + 4y-3 = 0 #
Это квадратное уравнение в #Икс#
Есть решения, если дискриминант #Delta> = 0 #
#Delta = (- 1) ^ 2-4 * (у) (4у-3) = 1-16y ^ 2 + 12y #
Следовательно, # 1-16y ^ 2 + 12y> = 0 #
#=>#, # 16Y ^ 2-12y-1 <= 0 #
Решения этого неравенства
# y in (12-sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32), ((-12) + sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32) #
#y in (12-sqrt (208)) / 32, (12 + sqrt (208)) / 32 #
#y в -0.076, 0.826 #
график {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -6,774, 3,09, -1,912, 3,016}
