На каких интервалах следующее уравнение является вогнутым вверх, вогнутым вниз и где его точка перегиба (x, y) f (x) = x ^ 8 (ln (x))?

Ответ:

• если # 0 <x <e ^ (- 15/56) # затем # Е # является вогнутый вниз;
• если #x> e ^ (- 15/56) # затем # Е # является вогнутый;
• # Х = е ^ (- 15/56) # это (падение) точка перегиба

Объяснение:

Проанализировать точки вогнутости и перегиба дважды дифференцируемой функции # Е #, мы можем изучить положительность второй производной. На самом деле, если # X_0 # точка в области # Е #, затем:

• если #f '' (x_0)> 0 #, затем # Е # является вогнутый в окрестности # X_0 #;
• если #f '' (x_0) <0 #, затем # Е # является вогнутый вниз в окрестности # X_0 #;
• если #f '' (x_0) = 0 # и знак #F '' # на достаточно маленькой правой окрестности # X_0 # находится напротив знака #F '' # на достаточно маленькой левой окрестности # X_0 #, затем # Х = x_0 # называется точка перегиба из # Е #.

В конкретном случае #f (x) = x ^ 8 ln (x) #, у нас есть функция, область которой должна быть ограничена положительными реалами #RR ^ + #.

Первая производная

#f '(x) = 8x ^ 7 ln (x) + x ^ 8 1 / x = x ^ 7 8 ln (x) +1 #

Вторая производная

#f '' (x) = 7x ^ 6 8 ln (x) +1 + x ^ 7 8 / x = x ^ 6 56ln (x) +15 #

Давайте изучим позитивность #f '' (х) #:

• # x ^ 6> 0, если x ne 0 #
• # 56ln (x) +15> 0 тогда и только тогда, когда ln (x)> -15/56 тогда и только тогда, когда x> e ^ (- 15/56) #

Итак, учитывая, что домен #RR ^ + #мы получаем это

• если # 0 <x <e ^ (- 15/56) # затем #f '' (х) <0 # а также # Е # является вогнутый вниз;
• если #x> e ^ (- 15/56) # затем #f '' (х)> 0 # а также # Е # является вогнутый;
• если # Х = е ^ (- 15/56) # затем #f '' (х) = 0 #, Учитывая, что слева от этого пункта #F '' # отрицательно и справа это положительно, мы заключаем, что # Х = е ^ (- 15/56) # это (падение) точка перегиба