Что такое домен и диапазон (2/3) ^ x - 9?

Ответ:

Домен: # (- оо, оо) #

Спектр: # (- 9, оо) #

Объяснение:

Первое замечание, что # (2/3) ^ х-9 # хорошо определено для любой реальной стоимости #Икс#, Таким образом, домен является целым # RR #т.е. # (- оо, оо) #

поскольку #0 < 2/3 < 1#, функция # (2/3) ^ х # является экспоненциально убывающей функцией, которая принимает большие положительные значения, когда #Икс# является большим и отрицательным, и асимптотически #0# для больших положительных значений #Икс#.

В предельной записи мы можем написать:

#lim_ (x -> - oo) (2/3) ^ x = -oo #

#lim_ (x-> oo) (2/3) ^ x = 0 #

# (2/3) ^ х # является непрерывным и строго монотонно убывающим, поэтому его диапазон # (0, oo) #.

вычитать #9# чтобы найти, что диапазон # (2/3) ^ х # является # (- 9, оо) #.

Позволять:

#y = (2/3) ^ x-9 #

Затем:

# y + 9 = (2/3) ^ x #

Если #y> -9 # тогда мы можем взять журналы обеих сторон, чтобы найти:

#log (y + 9) = log ((2/3) ^ x) = x log (2/3) #

и поэтому:

#x = log (y + 9) / log (2/3) #

Так что для любого #y in (-9, oo) # мы можем найти соответствующий #Икс# такой что:

# (2/3) ^ x-9 = y #

Это подтверждает, что весь диапазон # (- 9, оо) #.