Каков наклон касательной линии r = (sin ^ 2theta) / (- thetacos ^ 2theta) при theta = (pi) / 4?

Ответ:

Склон #m = (4 - 5pi) / (4 - 3pi) #

Объяснение:

Вот ссылка на Касательные с полярными координатами

Из ссылки получаем следующее уравнение:

# dy / dx = ((dr) / (d theta) sin (тета) + rcos (theta)) / ((dr) / (d theta) cos (theta) - rsin (theta)) #

Нам нужно вычислить # (др) / (д тета) # но, пожалуйста, соблюдайте это #r (тета) # может быть упрощен с помощью идентичности #sin (x) / cos (x) = tan (x) #:

#r = -tan ^ 2 (theta) / theta #

# (dr) / (d theta) = (g (тета) / (h (тета))) '= (g' (theta) h (theta) - h '(theta) g (theta)) / (h (тета)) ^ 2 #

#g (theta) = -tan ^ 2 (theta) #

#g '(theta) = -2tan (theta) sec ^ 2 (theta) #

#h (theta) = theta #

#h '(theta) = 1 #

# (dr) / (d theta) = (-2thetatan (theta) sec ^ 2 (theta) + tan ^ 2 (theta)) / (theta) ^ 2 #

Давайте оценим вышеупомянутое в # Пи / 4 #

# sec ^ 2 (pi / 4) = 2 #

#tan (pi / 4) = 1 #

#r '(pi / 4) = (-2 (pi / 4) (1) (2) + 1) / (pi / 4) ^ 2 #

#r '(pi / 4) = (-2 (pi / 4) (1) (2) + 1) (16 / (pi ^ 2)) #

#r '(pi / 4) = (16-16pi) / (pi ^ 2) #

Оцените г в # Пи / 4 #:

#r (pi / 4) = -4 / pi = - (4pi) / pi ^ 2 #

Примечание: я сделал вышеуказанный знаменатель # Р ^ 2 # так что это было общим с знаменателем #р'# и поэтому отменил бы, когда мы поместим их в следующее уравнение:

# dy / dx = ((dr) / (d theta) sin (тета) + rcos (theta)) / ((dr) / (d theta) cos (theta) - rsin (theta)) #

В # Пи / 4 # синусы и косинусы равны, поэтому они будут отменены.

Мы готовы написать уравнение для наклона, м:

#m = (16-16pi + -4pi) / (16-16pi -4pi) #

#m = (4 - 5pi) / (4 - 3pi) #