Каков наклон линии, перпендикулярной касательной линии f (x) = sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4) при x = (15pi) / 8?

Ответ:

# => y = 0.063 (x - (15pi) / 8) - 1.08 #

Интерактивный график

Объяснение:

Первое, что нам нужно сделать, это рассчитать #f '(х) # в #x = (15pi) / 8 #.

Давайте сделаем этот термин по сроку. Для # Сек ^ 2 (х) # Термин, обратите внимание, что у нас есть две функции, встроенные друг в друга: # Х ^ 2 #, а также #sec (х) #, Итак, нам нужно использовать правило цепочки здесь:

# д / дх (сек (х)) ^ 2 = 2 сек (х) * д / дх (сек (х)) #

# цвет (синий) (= 2 с ^ 2 (х) загар (х)) #

Для второго срока нам нужно использовать правило продукта. Так:

# d / dx (xcos (x-pi / 4)) = цвет (красный) (d / dx (x)) cos (x-pi / 4) + цвет (красный) (d / dxcos (x-pi / 4)))(Икс)#

#color (blue) (= cos (x-pi / 4) - xsin (x-pi / 4)) #

Вы можете удивиться, почему мы не использовали цепное правило для этой части, так как у нас есть # (x - pi / 4) # внутри косинуса. Ответ, который мы неявно сделали, но мы проигнорировали это. Обратите внимание, как производная от # (x - pi / 4) # это просто 1? Следовательно, умножение на on ничего не меняет, поэтому мы не записываем это в вычисления.

Теперь мы собрали все вместе:

# d / dx (sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4)) = цвет (фиолетовый) (2sec ^ 2 (x) tan (x) - cos (x-pi / 4) + xsin (x-pi / 4)) #

Следи за своими знаками.

Теперь нам нужно найти наклон линии, касательной к #f (х) # в #x = (15pi) / 8 #, Для этого мы просто вставляем это значение в #f '(х) #:

#f '((15pi) / 8) = (2 с ^ 2 ((15pi) / 8) tan ((15pi) / 8) - cos ((15pi) / 8-pi / 4) + (15pi) / 8sin ((15pi) / 8-пи / 4)) = цвет (фиолетовый) (~~ -6,79) #

Однако нам нужна не линия, касающаяся f (x), а линия нормальный к этому. Чтобы получить это, мы просто возьмем отрицательную обратную величину наклона выше.

#m_ (норма) = -1 / -15,78 цвет (фиолетовый) (~ ~ 0,015) #

Теперь мы просто вписываем все в форму точечного склона:

#y = m (x-x_0) + y_0

# => y = 0.063 (x - (15pi) / 8) - 1.08 #

Посмотрите на этот интерактивный график, чтобы увидеть, как это выглядит!

Надеюсь, что помогло:)