Z1 + z2 = z1 + z2 тогда и только тогда, когда arg (z1) = arg (z2), где z1 и z2 - комплексные числа. как? пожалуйста, объясни!

Ответ:

Пожалуйста, обратитесь к обсуждение в Объяснение.

Объяснение:

Позволять, # | Z_j | = R_j; r_j gt 0 и arg (z_j) = theta_j в (-pi, pi; (j = 1,2). #

#:. z_j = r_j (costheta_j + isintheta_j), j = 1,2. #

Очевидно, что # (Z_1 + z_2) = r 1 (costheta_1 + isintheta_1) + r_2 (costheta_2 + isintheta_2), #

# = (R_1costheta_1 + r_2costheta_2) + I (r_1sintheta_1 + r_2sintheta_2). #

Напомним, что, # z = x + iy rArr | z | ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2. #

#:. | (z_1 + z_2) | ^ 2 = (r_1costheta_1 + r_2costheta_2) ^ 2 + (r_1sintheta_1 + r_2sintheta_2) ^ 2, #

# = R 1 ^ 2 (соз ^ 2theta_1 + грех ^ 2theta_1) + r 2 ^ 2 (соз ^ 2theta_2 + грех ^ 2theta_2) + 2r_1r_2 (costheta_1costheta_2 + sintheta_1sintheta_2), #

# = R_1 ^ 2 + r 2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2), #

#rArr | z_1 + z_2 | ^ 2 = r_1 ^ 2 + r 2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) …. (звезда ^ 1) #.

# «Теперь, учитывая, что» | z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 |, #

#iff | (z_1 + z_2) | ^ 2 = (| z_1 | + | z_2 |) ^ 2 = | z_1 | ^ 2 + | z_2 | ^ 2 + 2 | z_1 || z_2 |, т. е., #.

# | (z_1 + z_2) | ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2 ……. (звезда ^ 2). #

От # (звезда ^ 1) и (звезда ^ 2) # мы получаем, # 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) = r_1r_2. #

# "Отмена" r_1r_2 gt 0, cos (theta_1-theta_2) = 1 = cos0. #

#:. (theta_1-theta_2) = 2kpi + -0, k в ZZ. #

# «Но» theta_1, theta_2 в (pi, pi, theta_1-theta_2 = 0 или, #

# theta_1 = theta_2, "предоставление", arg (z_1) = arg (z_2), # как желательно!

Таким образом, мы показали, что

# | Z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 | rArr arg (z_1) = arg (z_2). #

обратный может быть доказано на аналогичных линиях.

Наслаждайтесь математикой!