Что такое GDC (2 ^ 32-2 ^ 24 + 2 ^ 16-2 ^ 8 + 1, 2 ^ 8 + 1)?

Ответ:

Величайший общий делитель #2^32-2^24+2^16-2^8+1# а также #2^8+1# является #1#

Объяснение:

Обратите внимание, что:

#257 = 2^8+1 = 2^(2^3)+1#

это простое число - фактически одно из немногих известных простых чисел Ферма.

Так что единственно возможные общие факторы #2^8+1# а также #2^32-2^24+2^16-2^8+1# являются #1# а также #257#.

Однако, как вы отметили в вопросе:

#2^32-2^24+2^16-2^8+1 = (2^40+1)/(2^8+1)#

имеет форму:

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x ^ 5 + y ^ 5) / (x + y) #

Один фактор # (x + y) = 2 ^ 8 + 1 # из #2^40+1# соответствует реальному пятому корню единства и # (Х + у) # не является автоматически фактором оставшейся квартики # Х ^ 4-х ^ 3y + х ^ 2y ^ 2-ху ^ 3 + у ^ 4 # чьи другие линейные факторы все нереально сложны.

Мы можем разделить вручную # Х ^ 4-х ^ 3y + х ^ 2y ^ 2-ху ^ 3 + у ^ 4 # от # Х + у # чтобы получить остаток полинома, а затем заменить # Х = 2 ^ 8 # а также # У = 1 # чтобы убедиться, что это не частный случай …

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x + y) (x ^ 3-2x ^ 2y + 3xy ^ 2-4y ^ 3) + 5y ^ 4 #

Итак, остаток:

# 5y ^ 4 = 5 (цвет (синий) (1)) ^ 4 = 5 #

Поскольку остаток не равен нулю, #2^32-2^24+2^16-2^8+1# а также #2^8+1# не имеют общего фактора больше #1#.