Psi (x, t) = sqrt (1 / L) sin ((пикс) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) новый вопрос ?

#a) #

Вам просто нужно принять #Psi ^ "*" Пси #.

#color (blue) (Psi ^ "*" Psi) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) ^ "*" sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = sqrt (1 / L) sin ((пикс) / L) e ^ (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ (iomega_2t) sqrt (1 / L) sin ((пикс) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = 1 / Lsin ^ 2 ((пикс) / L) + 1 / L ((пикс) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + 1 / L sin ((пикс) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_2-omega_1) t) + 1 / L sin ^ 2 ((2pix) / L) #

# = цвет (синий) (1 / L sin ^ 2 ((пикс.) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) + 1 / L sin ((пикс.) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + e ^ (i (omega_2-omega_1) t)) #

#b) #

Период может быть найден с минимальным усилием, просто сначала зная энергии, которые являются постоянными движения.

Энергия # phi_1 = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) # является # E_1 = (1 ^ 2pi ^ 2ℏ ^ 2) / (4 мл ^ 2) #и энергия # Phi_2 # является # 4E_1 #, Поэтому частота # Omega_2 # из # Phi_2 # в четыре раза больше, чем # Phi_1 # (# Omega_1 #).

В результате период # T_1 = (2pi) / (omega_1) # из # Phi_1 # в четыре раза больше, чем # Phi_2 # (# T_2 = (2pi) / (omega_2) #, а также период # Phi_2 #.

Период, таким образом, # color (blue) (T = (2pi) / (omega_1)) #.

#c) #

Я позволю тебе включить это в себя, как #t _ "*" = pi / 2 (E_2-E_1) #, Вам не нужно ничего делать с этим …

Мы знаем это #T = (2pi) / (omega_1) #и что # (iEt) / ℏ = iomegat #, так

#E_n = omega_nℏ #.

В следствии, # pi / (2 (E_2-E_1)) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) #

а также

#color (blue) (t _ "*" / T) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2pi) #

# = 1 / (2 (4omega_1-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2) #

# = omega_1 / (4ℏ (3omega_1)) #

# = цвет (синий) (1 / (12ℏ)) #

#d) #

Вероятность нахождения частицы в # 0, L / 2 # дается как

#int_ (0) ^ (L / 2) Psi ^ "*" Psidx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ((пикс) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (- 3iomega_1t) + e ^ (3iomega_1t) dx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2sin ((пикс) / л) Sin ((2pix) / л) сов (3omega_1t) ах #

Первые два члена симметричны с половиной амплитуды и дают #50%# в общем и целом.

Третий член будет иметь вероятность стационарного состояния # 4 / (3PI) #, а также # соз # произвольный фазовый фактор. Таким образом, общая вероятность

# = цвет (синий) (0,50 + 4 / (3pi) cos (3omega_1t)) #

#e) #

#color (blue) (<< x >>) = << Psi | х | Пси >> = << xPsi | Пси >> #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2xsin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Там нет тривиального решения этого … Это оказывается:

# = L / (4pi ^ 2) + L / 8 + (2L) / (3pi) - (8L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t) #

# = цвет (синий) (((2 + pi ^ 2) L) / (8pi ^ 2) + ((6pi - 8) L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t)) #

#f) #

В #x = L / 2 #, # Грех # условия идут к #sin (pi / 2) = 1 # и к #sin (pi) = 0 #соответственно.

поскольку #sin (pi) = 0 #зависящая от времени часть #Psi ^ "*" Пси # исчезает и часть, не зависящая от времени, остается # 1 / л # как плотность вероятности.